Matemática, perguntado por maria214378, 10 meses atrás

a figura abaixo representa um tetraedro regular ABCD de aresta 2√3 dm, em que M e N são pontos médios da aresta e AB e CD respectivamente:

a) prove que o segmento MN é perpendicular as arestas AB e CD
(sugestão: observe que os triângulos MCD e NAB São isósceles)

b) calcule a distância em metros entre aresta reversas AB e CD


me ajudem por favor????​

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
6

Bom dia ^-^

Vamos fazer a Letra B primeiro:

Letra B)

Calculando o Apótema da Base:

ap =  \frac{1}{3}  \times  \frac{l \sqrt{2} }{2}

Como o lado vale 2 Raíz de 3:

ap =  \frac{1}{3}  \times  \frac{2 \sqrt{3} \times  \sqrt{3}  }{2}

ap = 1dm

Sendo assim, a altura dos triângulos que formam o tetraedro vale o triplo:

h = 3dm

A distância entre o Baricentro do triângulo da base e o ponto B é 2/3 da altura:

d =  \frac{2}{3}  \times 3 = 2dm

Assim, por Teorema de Pitágoras, podemos descobrir a altura do tetraedro:

 {d}^{2}  +   {ht}^{2}  =  {(2 \sqrt{3} )}^{2}

 {ht }^{2}  = 12 - 4 = 8

ht =  \sqrt{8}

Observando a figura, percebemos que outro triângulo retângulo semelhante a esse será formado a partir do ponto M, e sua altura valerá a metade:

h2 =  \frac{ \sqrt{8} }{2}

O ponto de intersecção dessa "altura" com a base está localizado a K metros do ponto B. Por Pitágoras:

 {k}^{2}  +  {( \frac{  \sqrt{8}  }{2} )}^{2}  =  { (\sqrt{3}) }^{2}

 {k}^{2}  + 2 = 3

k = 1 \: dm

Subtraindo isso da altura da base:

g = h - k = 3 - 1 = 2

E agora, podemos calcular a distância entre as retas reversas (segmento MN), por Pitágoras:

 {mn}^{2}  =  {g}^{2}  +  {( \frac{ \sqrt{8} }{2}) }^{2}

 {mn}^{2}  = 4 + 2

mn =  \sqrt{6}  \: dm

Agora a Letra A

Letra A)

Vamos chamar de Alfa o ângulo formado entre a altura do Tetraedro e o lado AB.

Calculando a Tangente de Alfa:

tg( \alpha ) =  \frac{2}{ \sqrt{8} } =  \frac{2 \times 2 \sqrt{2} }{8}   =  \frac{ \sqrt{2} }{2}

Vamos chamar de Beta o ângulo formado entre a altura do triângulo menor formado a partir de M e o segmento MN. Calculando sua tangente:

tg( \beta ) =  \frac{2}{ \frac{ \sqrt{8} }{2} }  =  \frac{2 \times 2}{2 \sqrt{2} }   =  \frac{2 \sqrt{2} }{2}  =  \sqrt{2}

É importante ressaltar que (Alfa + Beta) é o ângulo formado entre MN e AB. Calculando a tangente de (Alfa + Beta)

tg( \alpha  +  \beta ) =  \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} +  \sqrt{2}  }{1 - ( \sqrt{2} \times  \frac{ \sqrt{2} }{2} ) }  =  \frac{...}{1 - 1}

tg( \alpha  +  \beta ) =  \frac{...}{0}

Como é impossível dividir por zero, e a tangente de 90 é indefinida, podemos afirmar que MN forma um ângulo de 90 graus com AB, logo, é perpendicular.

MN também é a Altura do Triângulo MCD, sendo, por isso, perpendicular a CD.

Provado !

Observação:

Ao invés de calcular isso tudo, você podia só afirmar que MN é a altura de NAB e MCD, sendo, por isso, perpendicular a AB e CD.

Perdão se cometi algum erro.


maria214378: muito obrigada, ajudou bastante!
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