Question

A figura abaixo representa quatro circunferências de mesmo raio
e centros A, B, C e D. Essas circunferências tangenciam-se em um
único ponto P, comum às quatro circunferências, e o quadrilátero
ABCD é um quadrado cujo lado mede 2√2 cm.

A área da região sombreada na figura, em cm2 , é

a) 2p – 4
b) 8p – 4
c) 8p – 16
d) 16p – 16

Resposta letra C, mas não sei como resolver o problema. Também fiz mais 2 perguntas relacionadas a circunferência no meu perfil.

Answer 1

A área da região sombreada na figura, em cm², é 8π - 16.

Observe a figura abaixo.

A área hachurada que queremos calcular é igual a 16 vezes a área hachurada da figura abaixo.

Para calcular a área da figura abaixo, considere que o raio da circunferência é r.

O segmento AB' é igual a metade do segmento AB, ou seja, AB' = √2.

O segmento B'C' também mede √2.

Sendo assim, o triângulo AB'C' é retângulo isósceles e a medida do raio r é 2 cm.

A área hachurada abaixo é igual à diferença entre a área do setor de 45º e a área do triângulo retângulo. Assim:

$S=\frac{\pi.2^2.45}{360}-\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}$

S = π/2 - 1 cm².

Portanto, a área procurada é igual a:

S = 16(π/2 - 1)

S = 8π - 16 cm².