Question

A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinaladas a casa de Antônio (A), a casa de Beatriz (B), a escola (C) e um possível caminho que Antônio percorre para, passando pela casa de Beatriz, chegar à escola.

Qual o número total de caminhos que Antônio poderá percorrer, caminhando somente para norte ou leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Beatriz?

a) 100
b) 90
c) 80
d) 70
e) 60

Answer 1

De A a B´, ele dará 5 passos, 2 para norte e 3 para leste
P= 5!/2!*3!
P=5*4*3!/2*1*3! 
P=5*2
P=10
De B a C, ele dará 4 passos, 2 para o norte e 2 para o leste
P=4!/2!*2!
P=4*3*2!/2*1*2!
P=2*3
P=6
Então a permutação de A a B vezes a permutação B a C
TOTAL= 10*6
TOTAL=60
Letra E

Answer 2

Alternativa E.

O número total de caminhos que Antônio poderá percorrer é 60.

De A para B, Antônio dará 5 passos ao todo, 2 para o norte e 3 para o leste.

Só que há várias possibilidades de se fazer esse caminho.

Assim, o total de caminhos possíveis é dado por uma permutação com repetição, cuja fórmula é:

$P_{n} ^{a,b}$ =  n!  

           a!.b!

No caso, temos:

$P_{5} ^{2,3}$ =  5!  

           2!.3!

$P_{5} ^{2,3}$ = 5.4.3!

           2.3!

$P_{5} ^{2,3}$ = 5.4

           2

$P_{5} ^{2,3}$ = 20

           2

$P_{5} ^{2,3}$ = 10

De B para C, Antônio dará 4 passos ao todo, 2 para o norte e 2 para o leste.

Da mesma maneira, usamos a permutação com repetição.

$P_{4} ^{2,2}$ =  4!  

           2!.2!

$P_{4} ^{2,2}$ = 4.3.2!

           2.2!

$P_{4} ^{2,2}$ = 4.3

           2

$P_{4} ^{2,2}$ = 12

           2

$P_{4} ^{2,2}$ = 6

Pelo PFC (princípio fundamental da contagem), se um evento ocorre em etapas, o número total de maneiras desse evento ocorrer é dado pelo produto de suas partes. Então, vamos multiplicar as etapas:

10.6 = 60

60 maneiras diferentes de percorrer esse caminho.

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