Question

A figura abaixo representa o triângulo XYZ

Nessas condições, a medida do ângulo é:

a) 30°

b) 45°

c) 105°

d) 60°

e) 120°

Answer 1

Olhando essa figura já dá para saber que esse triângulo não é retângulo (não possui nenhum ângulo de 90°). Logo, utiliza-se a lei dos cossenos:

$(\overline{XZ})^2 = (\overline{XY})^2 + (\overline{YZ})^2 - 2 \cdot \overline{XY} \cdot \overline{YZ} \cdot cos(\alpha)$

Temos as medidas de todos os segmentos, então podemos isolar o cosseno do ângulo $\alpha$:

$(\sqrt{109})^2 = (5)^2 + (7)^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot cos(\alpha) \\ 109 = 25+ 49 - 70 \cdot cos(\alpha)$

$-70 \cdot cos(\alpha) = 109 - 25 - 49 \\ cos(\alpha) = \frac{35}{-70} = \frac{-1}{2}$

Sabemos que o ângulo está entre 0° e 180°, por que nenhum ângulo dentro do triângulo é maior que 180°. Mas como o cosseno é negativo, ele só pode estar no segundo quadrante.

O cosseno de $\frac{1}{2}$ corresponde a um ângulo de 60°. Para saber o ângulo correspondente a $\frac{-1}{2}$ , basta subtrair de 180°:

$\alpha = 180^{o} - 60^{o} = 120^{o}$