Question

A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e avenidas na direção leste-oeste.

Todo dia Marcos parte de sua casa, que se encontra no ponto , e se dirije para a escola, no ponto . Em cada cruzamento de avenidas, Marcos escolhe ao acaso a direção que irá seguir, mas sempre de tal forma que o trajeto percorrido de sua casa até a escola seja de comprimento mínimo. A probabilidade de o trajeto percorrido por Marcos passe pela casa de seu amigo Fernando, que se encontra no ponto , é: Opções

Answer 1

  ➯  Olá, sua pergunta pode ser resolvida usando o Triângulo de Pascal ou Combinação.

  ➯  Julgo mais simples o uso do Triângulo de Pascal, porém, o raciocínio usado é o mesmo em ambos.

❑  Método usando o Triângulo de Pascal

  ➯  O Triângulo de Pascal é uma junção de todos os coeficientes do Binômio de Newton e ao mesmo tempo, todos os resultados das Combinações possíveis.

• Obs.: Veja o mesmo no anexo 1.

  ➯  Mas em que isso vai ajudar resolver? Ué, cada encontro entre as ruas corresponde a um coeficiente, só vamos ter que virar um pouco a imagem e inserir o Triângulo de Pascal nessa situação.

• Obs.: Veja o anexo 2, a partir daqui, é preciso compreendê-lo para continuar nesse método de resolução. Apesar do desenho feito a mão, espero que dê para entender.

  ➯  Perceba que de A até C existem 70 caminhos diferentes e de C até B existem mais três (com a menor distância possível).

  ➯  Ou seja, existem 70 · 3 = 210 formas de ir de A até B, passando por C.

  ➯  Sabendo que existem 462  formas de ir de A até B, a probabilidade do trajeto percorrido por Marcos passe pela casa de seu amigo Fernando é de:

         $\dfrac{A\;at\'e\;B,\;passando\;por\;C}{A\;at\'e\;B}=\\\\\\\dfrac{210}{462}=\\\\\\\dfrac{210}{462}\div\dfrac{42}{42}=\\\\\\Resposta:\;\boxed{\dfrac{5}{11}}$

❑  Método usando Combinação

  ➯  Imagine linhas que ligam os pontos pela diagonal (assim como o anexo 2) temos 11 linhas, porém, existem 6 espaços entre as ruas na vertical e 5 espaços entre as ruas na horizontal, ou seja, a quantidade de formas de ir de A até B é de $C_{11,6}$ ou $C_{11,5}$, que é a mesma coisa.

         $C_{n,p}=\dfrac{n!}{(n-p)!\cdot p!}\\\\\\C_{11,6}=\dfrac{11!}{6!\cdot5!}\\\\\\C_{11,6}=\dfrac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}\\\\\\C_{11,6}=11\cdot3\cdot2\cdot7\\\\\\C_{11,6}=462$

  ➯  Agora, precisamos saber a quantidade de formas de ir de A até B, passando por C.

  ➯  Entre A e C existem 8 linhas, existindo quatro espaços entre as ruas, tanto na horizontal como na vertical.

  ➯  Entre C e B existem 3 linhas, existindo dois espaços entre as ruas na vertical e um espaço na horizontal.

  ➯  A quantidade de formas de ir de A até C é de $C_{8,4}$ e de C até B é de $C_{3,2}$ ou $C_{3,1}$.

         $C_{8,4}\cdot C_{3,2}=\\\\\\\dfrac{8!}{4!\cdot4!}\cdot\dfrac{3!}{1!\cdot2!}=\\\\\\\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot4\cdot3\cdot2}\cdot\dfrac{3\cdot2}{2}=\\\\\\7\cdot2\cdot5\cdot3=\\\\\\C_{8,4}\cdot C_{3,2}=210$

  ➯  Chegando ao mesmo resultado:

         $\dfrac{A\;at\'e\;B,\;passando\;por\;C}{A\;at\'e\;B}=\dfrac{210}{462}=\\\\\\Resposta:\;\boxed{\dfrac{5}{11}}$

Resposta: $\boxed{\bf{\dfrac{5}{11}}}$

• Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/27372438

Espero ter ajudado.

Bons estudos! :)