Question

A figura abaixo, nos mostra um triangulo ABC equilatero, de lado 6cm. Sabendo que os segmentos AP, PQ, QH tem a mesma medida, determine a medida do segmento BQ?
Resposta: 2√3. Por favor, como resolvo?

Answer 1

Primeiramente você sabe que cada lado do triângulo equilátero tem 6 cm. A definição de triângulo equilátero é que tem todos os lados com a mesma medida, portanto todos os lados têm a medida de 6 cm. 

Criemos então um triângulo retângulo AHC, retângulo em H! 
Sabe-se que o Segmento CA tem 6 cm. O segmento HC tem metade: 3 cm, não se sabe a medida de AH. Desse modo aplica-se teorema de pitágoras: 

Cateto² + cateto² = hipotenusa² <=>
<=> (AH)² + (HC)² = (CA)² <=>
<=> (AH)² + 3² = 6² <=>
<=> (AH)² = 36 - 9 <=>
<=> (AH)² = 27 <=>
<=> (AH) = √27 

27|3
9|3
3|3
1 

√27 = √(3²*3) = 3√3 

Sabe-se então a medida de AH que é de 3√3 

AP, PQ, QH tem a mesma medida, desse modo se dividirmos o segmente AH por três teremos a medida de cada um dos segmentos: (AP, PQ, QH) que será 3√3 : 3 = √3 

Crie-se então um novo triângulo: 
QHB, reto em H. 

Queremos descobrir a medida de BQ, que é a hipotenusa deste triângulo. 
Sabe-se que os catetos QH e HB têm de medida √3cm e 3cm respetivamente. 

Logo pelo teorema de pitágoras: 

H² = C² + C² <=>
<=> (QB)² = (√3)² + (3²) <=>
<=> (QB)³ = 3 + 9 <=>
<=> QB = √12 

12|2
6|2
3|3
1 

√12 = √(2²*3) = 2√3 cm, tal como queremos demonstrar!

Logo o segmento BQ tem 2√3 cm de comprimento!

Fui claro? :) Qualquer dúvida exponha! Acho que demonstrei claramente tudo o que era necessário!