Question

A figura abaixo mostra uma circunferência

de centro O e raio igual a 3 cm, inscrita em

um triângulo.

a) Determine a e b , bem como o

comprimento do arco BC.

b) Determine x sabendo que o triângulo

tem perímetro igual a 32 cm.

Answer 1

Resposta:

a)

α = β = 63,4º

BC ≈ 6,64 cm

b)

x = 4 cm

Explicação passo a passo:

O segmento AC é tangente à circunferência, então, como indicado na figura, o ângulo ACO é reto (90º).

Com isso conseguimos achar β pela soma dos ângulos internos do triângulo:

26,6 + 90 +  β = 180

β = 63,4º

Vemos também que os triângulos ACO e ABO são congruentes retângulos, pois possuem:

• Um lado congruente (raio (r) da circunferência) - Cateto
• Um lado congruente e comum (AO) - Hipotenusa
• Um ângulo congruente, que é o ângulo de tangência (90º)

Com isso vemos que o ângulo AOB também vale β. E com isso o ângulo central que compreende o arco BC é 2β.

Além disso, vemos que α é um ângulo inscrito na circunferência que compreende o mesmo arco BC que o ângulo 2β.

Sabemos que ângulo inscrito vale metade do ângulo central que compreende o mesmo arco. Logo:

$ÂnguloInscrito = \frac{ÂnguloCentral}{2} \\\alpha = \frac{2.\beta}{2} \\ \bold{\alpha = \beta = 63,4\textdegree}$

Para achar o comprimento de BC basta fazer uma regra de 3.

$360\textdegree --- 2\pi.r\\2.\beta---- BC\\\\360\textdegree --- 2\pi.3\\2.(63,4)---- BC\\BC = \frac{760,8\pi}{360} \approx 6,64 \ cm$

$\rule{350}{1}$

b) Os segmentos tangentes à circunferência que partem de um mesmo ponto são congruentes, pois formam triângulos congruentes como vimos na letra "a". Então basta montar uma equação com o perímetro:

$6 + 6 + x + x + (x+2) + (x+2) = 32\\12 + 2x + 2x + 4 = 32\\4x = 16\\x = 4$