Question

A Figura abaixo mostra uma camera montada em um ponto a 3000 pés da base da
rampa de lançamento de um foguete. Vamos supor
que o foguete sobe verticalmente e a câmera tira uma
série de fotografias dele. Como o foguete estará su-
bindo, o ângulo de elevação da câmera terá que va-
riar segundo uma taxa para manter o foguete á vista.
Além disso, como a distância entre a câmera e o fo-
guete estará variando constantemente, o mecanismo
de focalização da câmera também terá que variar a
uma certa taxa para manter a fotografia em foco. Se
o foguete mostrado na figura estiver subindo vertical-
mente a 880 pés/s, quando ele estiver a 4000 pés, com
que rapidez o ángulo de elevação da câmera estará va-
riando naquele instante para manter o foguete á vista?​

Answer 1

A rapidez com  que rapidez o angulo de elevação da câmera estará variando para manter o foguete á vista é 0,030976 rad/s.

A câmera está montada a 3000 pés da base de lançamento do foguete, então o cateto adjacente ao ângulo sempre será constante. Sabemos também que o cateto oposto (y) está aumentando em 880 pés/s, ou seja:

dy/dt = 880

O ângulo de elevação da câmera será dada pela expressão:

∅ = arctan(y/3000)

Como queremos a variação da elevação do ângulo da câmera, temos que derivar a expressão acima:

d∅/dt = d(arctan(y/3000))/dt

d∅/dt = (dy/dt)/3000.[(dy/dt)/3000]/[1 + (y/3000)²]

d∅/dt = 880/3000.[880/3000]/[1 + (y/3000)²]

d∅/dt = (880/3000)²/[1 + y²/3000²]

Quando y vale 4000 pés, temos que a variação do ângulo será:

d∅/dt = (880/3000)²/[1 + 4000²/3000²]

d∅/dt = 0,030976 rad/s