Question

A figura abaixo mostra o paralelogramo BMNP inscrito no
triângulo retângulo ABC, em que AB = 5cm e BC = 13cm.
Sabe-se que o paralelogramo tem área máxima quando M
é ponto médio de BC.
Então, a maior área que o paralelogramo pode ter é igual a:
a) 12 cm2
b) 18 cm2
c) 15 cm2
d) 7,5 cm2
e) 9 cm2

Answer 1

Resposta:

c

Explicação passo-a-passo:

5² + AC² = 13²

AC = 12

Faz uma nova figura fazendo o ponto M ser médio de BC.

Existe um teorema que diz que, se M é ponto médio e MN é paralela a AB então N também é ponto médio de AC. Logo AN = NC = 6.

h é altura relativa a BC. Logo 13h = 5.12. E assim h = 60/13.

z = altura do triângulo APN.

O triângulo APN é semelhante ao triângulo ABC, pois PN//BM, acarretando, por conseguinte dois ângulos congruentes em ambos os triângulos. Requisito suficiente para se concluir a semelhança.

Devido a isto podemos escrever z/(60/13) = 6/12. Logo z = 30/13.

A altura do paralelogramo relativo ao lado PN é 60/13 - 30/13 que é igual a 30/13.

Existe um teorema que diz que se P e N são pontos médios dos lado desse triângulo e se PN é paralela a BC, então PN = BC/2. Logo PN =13/2.

A área de qualquer paralelogramo é base x altura. Logo podemos escrever:

A = (13/2). (30/13) = 15