Question

A figura abaixo mostra a representação gráfica da função f(x) = x³ + 2x².

q09

Determine, por meio do cálculo de uma integral definida, a área da região limitada por essa função e pelo eixo Ox no intervalo de [-2;0].

Alternativas:

a)
16/3 u.a.

b)
1/3 u.a.

c)
32/3 u.a.

d)
5/96 u.a.

e)
4/3 u.a.

Answer 1

Conhecendo o assunto e usando a fórmula correta, concluímos que a resposta para sua pergunta é a alternativa e) 4/3 u.a

• Antes de ver como chego a essa conclusão, vejamos um conceito básico sobre o assunto.

O problema é sobre integrais definidas. A integral definida é um caso da integral usada para determinar o valor das áreas limitadas por um gráfico dentro de um intervalo e do eixo horizontal.

• Para calcular a área limitada pelo gráfico em seus intervalos, deve-se utilizar a seguinte fórmula:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large A = \displaystyle \int ^b _a f(x)dx}}}$

Os intervalos de integração são dados principalmente como a expressão [a,b]. Esses intervalos podem implicar o local onde a função é limitada.

• Vamos analisar o problema para encontrar sua solução:

O problema menciona uma figura formada pela função f(x) = x³ + 2x² e essa mesma função é limitada pelos termos [-2 ,0] e nos pede para calcular a área dessa região limitada.

• Anotando os dados:

$\begin{cases}\large f(x)= x^3 +2x^2 \\ \large a= -2\\ \large b=0 \\ \large A =?\end{cases}$

• Aplicamos nossa fórmula para calcular a área limitada pelo gráfico:

$\large A = \displaystyle \int ^{0}_{-2} x^3+2x^2 dx$

Para resolver esta integral devemos aplicar algumas propriedades das integrais. Para o nosso caso, aplicaremos a propriedade da regra de adição que seria expressa como:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large A = \displaystyle \int ^b _a f(x)dx\pm \int ^b _a g(x)dx}}}$

• Aplicando esta propriedade temos:

$\large A = \displaystyle \int ^{0}_{-2} x^3+\int ^{0}_{-2} 2x^2 dx$

Tendo aplicado esta propriedade, obtivemos uma operação menos complicada, também graças a isso podemos aplicar propriedades básicas nas integrais. Para essas duas integrais, aplicaremos a regra da potência:

$\large A = \displaystyle \left[ \dfrac{x^{3+1}}{3+1}\right]^{0} _{-2} +\left[ \dfrac{2x^{2+1}}{2+1}\right]^{0} _{-2}$

$\large A = \displaystyle \left[ \dfrac{x^{4}}{4}\right]^{0} _{-2} +\left[ \dfrac{2x^{3}}{3}\right]^{0} _{-2}$

• Agora devemos avaliar nossa integral em seus limites de integração.

$\large A = \displaystyle \left[ \dfrac{0^{4}}{4}-\dfrac{-2^4}{4}\right]+\left[ \dfrac{2(0)^{3}}{3}-\dfrac{2(-2)^3}{3}\right]$

$\large A = \displaystyle \left[ -\dfrac{16}{4}\right]+\left[ -\dfrac{-16}{3}\right]$

$\large A = \left[ -4\right]+\left[ \dfrac{16}{3}\right]$

$\large A = -4+\dfrac{16}{3}$

$\large A = \dfrac{-12+16}{3}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\large A = \dfrac{4}{3}~u.a}}}$

Feitos os cálculos corretamente, concluímos que a área delimitada pelo gráfico é igual a 4/3

Mais sobre o tópico da área sob a curva em:

• https://brainly.com.br/tarefa/24062157
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