Question

A figura abaixo exibe um setor circular dividido em
duas regiões de mesma área. A razão é igual a
asta
otal
raiz
Interbiese

Answer 1

A razão a/b é igual a √2 + 1.

A área de um setor circular pode ser calculado pela fórmula:

• $S=\frac{\pi r^2 \alpha}{360}$, sendo r a medida do raio e α a medida do ângulo central.

Temos dois setores circulares com o mesmo ângulo central, que chamaremos de α, e de raios a e a + b.

A área do setor de raio a é igual a:

S' = π.a².α/360.

Já a área do setor de raio a + b é igual a:

S = π.(a + b)².α/360.

Então, a área branca é igual a:

S'' = π.(a + b)².α/360 - π.a².α/360.

Como S' = S'', então temos que:

π.a².α/360 = π.(a + b)².α/360 - π.a².α/360

a² = (a + b)² - a²

2a² = (a + b)²

a√2 = a + b

a√2 - a = b

a(√2 - 1) = b

b/a =√2 - 1

a/b = 1/(√2 - 1)

a/b = √2 + 1.