Question

A figura abaixo é um setor circular de raio 30 centímetros que representa uma fatia de

pizza. Pretende-se efetuar um corte nessa fatia de pizza de modo que cada uma das duas

partes resultantes tenha a mesma área. Este corte é representado, na figura, pela reta r

e será perpendicular à reta s, a qual é a bissetriz do ângulo BAC. Sabendo que o ângulo

CAD mede α (em radianos), então é CORRETO afirmar que a medida do segmento AE

em centímetros é:

a) 15 √cot α.

b) 15 √2α cot α.

c) 15 √tan α.

d) 15 √2α tan α.

e) 15 √cos α.

Answer 1

É correto afirmar que a medida do segmento AE, em centímetros, é 15√(2a.cotg(a)).

A área de um setor circular de raio r e ângulo central a é calculada pela fórmula:

• $S=\frac{\pi r^2 \alpha}{360}$.

De acordo com a figura, o ângulo central mede 2α e o raio do setor é igual a 30º.

Sendo assim, a área total da figura é igual a:

S = π.30².2α/360

S = 180.900.2α/360

S = 900α cm².

Vamos calcular a área do triângulo. Observe que esse triângulo é isósceles e considere que sua base é igual a 2x.

É verdade que:

tg(α) = x/AE

x = tg(α).AE.

Então, a área do triângulo é igual a:

S' = 2x.AE/2

S' = AE.tg(α).AE

S' = AE².tg(α) cm².

A área outra região obtida ao dividir o setor é igual a:

S'' = 900α - AE².tg(α) cm².

Como essas duas áreas são iguais, então:

AE².tg(α) = 900α - AE².tg(α)

2AE².tg(α) = 900α

AE² = 450α/tg(α)

AE² = 450α.cotg(α)

AE = 15√(2α.cotg(α))