Question

A figura abaixo é um gráfico PxV para uma versão idealizada de um
pequeno motor Stirling, cujo nome vem do Revendo Robert Stirling, da
Igreja da Escócia, que propôs o esquema em 1816. A maquina usa n =
8,1.10-3 moles de um gás ideal, operando entre reservatórios de alta e baixa
temperaturas com TH = 95ºC e TC = 24ºC, e funcionando à taxa de 0,7 ciclos
por segundo. Um ciclo consiste em uma expansão isotérmica (ab), uma
compressão isotérmica (cd) e dois processos de volume constante (bc e da).
a) Qual o trabalho resultante da máquina por ciclo?
b) Qual a potência da máquina?
c) Qual o calor resultante transferido para o gás durante o ciclo?
d) Qual a eficiência da máquina?

Answer 1

Item A

O trabalho feito pelo ciclo é a área cinza destacada na figura.

A definição do trabalho feito por um gás (que é positivo) é:

$\displaystyle{W = \int P dV$

Ainda, o trabalho feito pelo ciclo é a soma do trabalho realizado em cada processo:

$\displaystyle{W_{abcda}=W_{ab}+W_{bc}+W_{cd}+W_{da}}$

Perceba que pela definição de trabalho, o gás só realiza trabalho se seu volume mudar. Se o volume permanecer constante, então nenhum trabalho é realizado.

Nos processos bc e da o volume é constante, logo nenhum trabalho é realizado.

No processo ab o nosso gás se expande isotermicamente. Como o gás expandiu, ele realizou trabalho dado por:

$\displaystyle{W_{ab} = \int_{V_a}^{V_b} P dV}$

O volume em a é $V_a = V_0$ e o volume em b é $V_b = 1.5V_0$.

Ainda, pela equação de estado dos gases ideais podemos escrever P como uma função de V:

$\displaystyle{PV=nRT}$

$\displaystyle{P=\frac{nRT}{V}}$

Na situação isotérmica, T é uma constante. Com isso a integral fica:

$\displaystyle{W_{ab} = \int_{V_0}^{1.5V_0}\frac{nRT_{ab}}{V}dV}$

$\displaystyle{W_{ab} = nRT_{ab}\int_{V_0}^{1.5V_0}\frac{dV}{V}}$

$\displaystyle{W_{ab} = nRT_{ab}\ln\left(1.5\right)}$

A temperatura no processo ab é constante e vale 95°C. Em Kelvin essa temperatura vale 273 + 95 = 368 K.

A constante dos gases ideais é R = 8,314 J/(mol K)

Temos um total de $n = 8.1\cdot 10^{-3}$ mol de gás.

Com isso temos:

$\displaystyle{W_{ab} = 8.1\cdot 10^{-3}\cdot8.314\cdot368\cdot\ln\left(1.5\right)}$

$\displaystyle{W_{ab}= 10.05}$ J

Analogamente, o trabalho realizado no processo cd será:

$\displaystyle{W_{cd} = \int_{V_c}^{V_d}\frac{nRT_{cd}}{V}dV}$

Temos  que a temperatura nesse processo (que é uma constante) é de

273 + 24 = 297 K

$\displaystyle{W_{cd} = nRT_{cd}\int_{1.5V_0}^{V_0}\frac{dV}{V}}$

$\displaystyle{W_{cd} = -nRT_{cd}\ln\left(1.5\right)}$

$\displaystyle{W_{ab} = -8.1\cdot 10^{-3}\cdot8.314\cdot297\cdot\ln\left(1.5\right)}$

$\displaystyle{W_{cd}=-8.11}$ J

Com isso o trabalho realizado pela máquina durante o ciclo é de:

$\displaystyle{W_{abcda}=W_{ab}+W_{bc}+W_{cd}+W_{da}=10.05+0-8.11+0}$

$\displaystyle{W_{abcda}=1.94}$ J

Item B

A potência da máquina é quantos Joules ela faz por segundo.

Em um segundo ela executa 0,7 ciclos. E a cada ciclo ela faz 1,94 Joules de trabalho. Então a potência da máquina é de:

$\displaystyle{P = 0.7 \cdot 1.94=1.358}$ W

Item C

A primeira lei da termodinâmica nos diz que:

$\displaystyle{\Delta U = Q - W}$

Ou seja, a variação da energia interna de um gás é a soma do calor adicionado ou extraído menos o trabalho realizado pelo gás ou sobre o gás.

O calor é transferido para gás nos processos da e ab.

No processo da o volume do gás não muda, mas a pressão e temperatura sim, o que indica que a energia interna do gás mudou. Como nenhum trabalho foi realizado a variação da energia interna é igual ao calor adicionado.

No processo ab calor é adicionado para que a temperatura do gás se mantenha constante durante a expansão. Como a temperatura não muda, a energia interna é constante, e com isso o calor adicionado é igual ao trabalho realizado nesse processo.

Vamos calcular o calor absorvido pelo gás no processo da:

Como esse processo é de volume constante, o calor absorvido pelo gás no processo é:

$\displaystyle{Q_{da} = nC_V \Delta T}$

onde $C_V$ é a capacidade térmica do gás à volume constante.

Para gases ideais monoatômicos temos que $C_V = \frac{3}{2}R$. Logo:

$\displaystyle{Q_{da} = \frac{3}{2}nR\left(T_a - T_d\right)}$

$\displaystyle{Q_{da} = \frac{3}{2}\cdot8.1 \cdot10^{-3}\cdot 8.314\cdot\left(368 -297\right)}$

$\displaystyle{Q_{da} = 7.172}$ J

No processo ab o calor adicionado é igual ao trabalho realizado. Como já calculamos o trabalho, temos que:

$Q_{ab} = W_{ab}$

$Q_{ab} = 10.05$ J

O calor transferido para o gás durante o ciclo é então:

$\displaystyle{Q= Q_{da}+Q_{ab}=7.172 + 10.05 }$

$\displaystyle{Q= 17.222 }$ J

Item D

A eficiência da máquina é dada pela razão entre a quantidade de calor que foi absorvida pela quantidade de trabalho que foi realizado:

$\displaystyle{\eta = \frac{W}{Q_{entra}}$

Como entraram 17.222 J de calor e foi realizado 1.94 Joules de trabalho, a eficiência da maquina é:

$\displaystyle{\eta = \frac{1.94}{17.222}}$

$\displaystyle{\eta = 0.1126 = 11.26\%}$