Question

A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não re-presenta os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos
equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da
câmara de vereadores.

→( Olhar o anexo )

→ O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por :

a) ( x - 2 )² + ( y - 6 )² ≤ 1
b) ( x - 1 )² + ( y - 5 )² ≤ 2
c) x ∈ ] 1 , 3 [ , y ∈ ] 4 , 6 [
d) x = 2 , y ∈ [ 5 , 7 ]

Answer 1

Como o gráfico já mostra, a Avenida Brasil pertence ao x = 2, mas através de uma equação podemos confirmar esse dado usando a equação de distância entre 2 pontos:

$d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\\\\Catedral~(1,1)\\\\d^2=(x-1)^2+(y-1)^2\\d^2=x^2-2x+1+y^2-2y+1\\d^2=x^2-2x+y^2-2y+2~(I)\\\\Prefeitura~(3,1)\\\\d^2=(x-3)^2+(y-1)^2\\d^2=x^2-6x+9+y^2-2y+1\\d^2=x^2-6x+y^2-2y+10~(II)\\\\(I)=(II)\\\\x^2-2x+y^2-2y+2=x^2-6x+y^2-2y+10\\4x=8\\x=\frac{8}{4}\\\\\boxed{x=2}$

Agora fazendo o mesmo com a Prefeitura e Câmara usando x = 2 como o ponto de intersecção:

$Camara~(5,3)\\\\d^2=(2-5)^2+(y-3)^2\\d^2=9+y^2-6y+9\\d^2=y^2-6y+18~(III)\\\\(II)=(III)\\\\2^2-6.2+y^2-2y+10=y^2-6y+18\\4-12+10=-4y+18\\2-18=-4y\\4y=16\\y=\frac{16}{4}\\\\\boxed{y=4}$

Equação que satisfaz a questão é a alternativa (b)

$( x - 1 )^2 + ( y - 5 )^2$ $\leq 2$
$(2-1)^2+(4-5)^2 \leq 2\\1^2+1^2 \leq 2$
$\\\boxed{2\leq2}$  ← Correto!