Question

A figura abaixo apresenta circunferências tangentes, sabendo que o raio da maior mede 8 e o da menor 4, podemos afirmar que a distância entre os pontos A e B vale:

Answer 1

Olá,

O lado CD que liga um centro ao outro será a soma dos raios 8 + 4 = 12 , a parte procurada é a tangente das duas circunferências, agora a cartada dessa questão é traçar uma reta paralela ao lado AB formando um triangulo retângulo em cima e um retângulo em baixo. Fazendo isso temos um dos lados do triangulo valendo 4, podendo ser aplicado o teorema de pitágoras, tendo o lado CD como hipotenusa:

12² = x² + 4²
144 = x² + 16
x² = 128
x = 8V2

E já que é um retangulo o lado oposto terá o mesmo valor.
  

Answer 2

A reta AB é perpendicular aos raios r = CA (da circunferência menor) e DB (da circunferência maior).

Chame E o ponto de projeção perpendicular do centro C no raio DB. Observe que :

CD = r + R;
DE = R - r;
AB = CE...

CE forma ângulos retos com DB. Podemos usar Pitágoras em CDE :

Hipotenusa ⇒ CD (r + R);

Catetos ⇒ CE e DE (R - r)...

CD² = CE² + DE²

(r + R)² =  CE² + (R - r)² 

Sendo ⇒ R = 8 e r = 4 :

(4 + 8)² =  CE² + (8 - 4)²

12² = CE² + 4²

144 = CE² + 16

CE² = 144 - 16

CE² = 128

CE = √128 (racionalizando...)

CE = 8 * √2 cm ⇒ Valor de CE ! Logo, AB = CE = 8 * √2 cm !
(descarta-se a raiz negativa)