Question

A figura a seguir traz o gráfico da função y = ln ( x² + 1)...

Answer 1

Olá, boa noite.

Dada a função $y=\ln(x^2+1)$ e as aproximações de quatro de seus polinômios de Maclaurin, devemos determinar o polinômio $P_4(x)$ dessa função.

Primeiro, lembre-se que a expansão de Taylor de uma função, contínua e derivável em um ponto $a$ é calculada pela fórmula: $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot (x-a)^n}$, em que $f^{(n)}(a)$ é a enésima derivada de $f(x)$ em $x=a$.

A expansão de Maclaurin é o caso particular quando $a=0$. O polinômio de Maclaurin de ordem $N$ é dada por:

$P_N(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^N \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot x^n}$

Então, devemos determinar o $P_4(x)$ da função $y=f(x)=\ln(x^2+1)$.

Expandindo o somatório, temos:

$P_4(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^4\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot x^n}\\\\\\ P_4(x)=\dfrac{f^{(0)}(0)}{0!}x^0+\dfrac{f^{(1)}(0)}{1!}x^1+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4\\\\\\ P_4(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^2+\dfrac{f'''(0)}{6}x^3+\dfrac{f^{(4)}(x)}{24}x^4$

Primeiro, calculamos sua derivada de primeira ordem:

$(f(x))'=(\ln(x^2+1))'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta $f(g(x))$, em que $f,~g$ são contínuas é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função logarítmica é dada por: $(\log_a(x))'=\dfrac{1}{x\cdot\ln(a)}, 0<a\neq1$, em que o caso particular $a=e$ torna: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de ordem superior de uma função é calculada pela regra: $\dfrac{d^nf}{dx^n}=\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\cdots}_{n~vezes}f(x)\biggr)$.
• A derivada de uma função racional $\dfrac{f(x)}{g(x)}$, em que $f,~g$ são contínuas e $g(x)\neq0$ é calculada pela regra do quociente $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$.

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função logarítmica

$f'(x)=(x^2+1)'\cdot \dfrac{1}{x^2+1}$

Aplique a regra da soma e da potência

$f'(x)=((x^2)'+(1)')\cdot \dfrac{1}{x^2+1}\\\\\\ f'(x)=2\cdot x^{2-1}\cdot\dfrac{1}{x^2+1}\\\\\\ \boxed{f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}}$

Calcule as derivadas de ordem superior desta função

$f''(x)=(f'(x))'=\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right)'\\\\\\ f''(x)=\dfrac{(2x)'\cdot (x^2+1)-2x\cdot (x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\\\\\\ \boxed{f''(x)=\dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}}\\\\\\ f'''(x)=(f''(x))'=\left(\dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\right)'$

$f'''(x)=\dfrac{(-2x^2+2)'\cdot(x^2+1)^2-(-2x^2+2)\cdot ((x^2+1)^2)'}{((x^2+1)^2)^2}\\\\\\ f'''(x)=\dfrac{-4x\cdot(x^2+1)^2-(-2x^2+2)\cdot2\cdot(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}\\\\\\ f'''(x)=\dfrac{-4x^3-4x+8x^3-8x}{(x^2+1)^3}\\\\\\\ \boxed{f'''(x)=\dfrac{4x^3-12x}{(x^2+1)^3}}$

$f^{(4)}(x)=(f'''(x))'=\left(\dfrac{4x^3-12x}{(x^2+1)^3}\right)'\\\\\\ f^{(4)}(x)=\dfrac{(4x^3-12x)'\cdot (x^2-1)^3-(4x^3-12x)\cdot ((x^2+1)^3)'}{((x^2+1)^3)^2}\\\\\\f^{(4)}(x)=\dfrac{(12x^2-12)\cdot (x^2-1)^3-(4x^3-12x)\cdot3\cdot(x^2+1)^2\cdot 2x}{(x^2+1)^6}\\\\\\ \boxed{f^{(4)}(x)=\dfrac{-12x^4 +72 x^2 -12}{(x^2 + 1)^4}}$

Então, calculamos cada uma destas derivadas em $x=0$:

$f(0)=\ln(0^2+1)=0\\\\\\ f'(0)=\dfrac{2\cdot 0}{0^2+1}=0\\\\\\ f''(0)=\dfrac{-2\cdot0^2+2}{(0^2+1)^2}=2\\\\\\ f'''(x)=\dfrac{4\cdot0^3-12\cdot0}{(0^2+1)^3}=0\\\\\\ f^{(4)}(0)=\dfrac{-12\cdot 0^4 +72\cdot0^2-12}{(0^2+1)^4}=-12$

Substituindo estes resultados na expansão, temos:

$P_4(x)=0+0\cdot x + \dfrac{2}{2}\cdot x^2+\dfrac{0}{6}\cdot x^3 + \dfrac{-12}{24}\cdot x^4\\\\\\ P_4(x) = x^2-\dfrac{x^4}{2}~~\checkmark$

Este é o resultado que buscávamos e é resposta contida na letra b).