Question

A figura a seguir representa uma praça circular, com centro no ponto O, na escala de 1:1 000. O triângulo ADC é retângulo em D e mostra a área construída em que funcionam uma pequena academia de ginástica, sanitários e salão de dança. Se o diâmetro AB mede 13 cm, e o segmento CD mede 6 cm, qual é, em metros quadrados, a medida da área construída?

Answer 1

A seguir, calcularemos o valor da área do triângulo ADC (área construída) com base na utilização das relações métricas do triângulo retângulo.

• Calculando o segmento AD

Olhe para a figura e imagine o triângulo ABC. Ele tem vértices nas extremidades do diâmetro e possui um vértice na própria circunferência, o que o caracteriza como retângulo, assim como ADC.

Vamos chamar o segmento DO de X.

Sendo o diâmetro 13cm, podemos afirmar que o raio mede 13/2 centímetros.

$R=\dfrac{13}{2}\: cm$

Dessa forma, o segmento AD mede (13/2 - X) e o segmento BD mede (13/2 + X)

Sabemos que o segmento CD (altura do triângulo ABC) mede 6 cm.

Pelas relações métricas, temos:

$h^2=m\cdot n$

$CD^2=AD\cdot BD$

$6^2=(\dfrac{13}{2}-x)\cdot (\dfrac{13}{2}+x)$

$6^2=(\dfrac{13}{2})^2-x^2$

$36=\dfrac{169}{4}-x^2$

$x^2=\dfrac{169}{4}-\dfrac{144}{4}$

$x^2=\dfrac{25}{4}$

$x=\dfrac{5}{2}$

$\boxed{DO=\dfrac{5}{2}\: cm}$

Logo, a medida AD será:

$AD=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}$

$AD=\dfrac{8}{2}$

$\boxed{AD=4\: cm}$

• Calculando a área

A área construída é igual à área do triângulo ADC, ou seja:

$A_{ADC}=\dfrac{b\cdot h}{2}$

$A_{ADC}=\dfrac{AD\cdot CD}{2}$

Temos as medidas dos lados AD e CD:

$AD=4\: cm$

$CD=6\: cm$

Como a escala é de 1:1000, temos de multiplicar cada uma dessas medidas por 1000 para encontrar o tamanho real:

$AD=4.000\: cm$

$CD=6.000\: cm$

Transformando para metros:

$AD=40\: m$

$CD=60\: m$

Calculando a área:

$A_{ADC}=\dfrac{40\cdot 60}{2}$

$A_{ADC}=\dfrac{2.400}{2}$

$\boxed{\boxed{A_{ADC}=1.200\: m^2}}$

• Resposta

A área construída (área de ADC) vale 1200 metros quadrados.

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