A figura a seguir representa um dodecágono
regular inscrito numa circunferência de raio 4.
Determine a forma algébrica dos números
complexos z2 e z8 cujos afixos são os pontos B e H
respectivamente
Soluções para a tarefa
O enunciado deseja a forma algébrica dos números complexos, ou
seja, os complexos escritos na forma:
z = a + bi,
Onde:
z é o número complexo;
a é a parte real do número complexo;
bi é a parte imaginária do número complexo.
O primeiro passo é descobrir o módulo (ρ) desse número complexo que ainda vamos conhecer. O módulo refere-se a hipotenusa de um triângulo retângulo. Na 1ª imagem que coloquei em anexo, destaco o módulo, representando-o pelo letra r, que significa “raio”. Nesse caso, podemos definir ρ como sendo igual a 4.
O segundo passo é descobrir o argumento principal (θ) desse número complexo que ainda vamos conhecer. O argumento refere-se ao ângulo central dos triângulos retângulo criados. Na 1ª imagem em anexo estão mais bem denotados esses triângulos retângulo.
Para descobrir o tamanho de θ, podemos seguir diversos
meios, como: (I) dividir o ângulo central da circunferência (360°, ou 2π) pela
quantidade de lados (12); (II) dividir o ângulo de um quadrante (ou seja,
ângulo reto, com 90° ou π/2) pela quantidade de “partes que o divide” na
imagem, ou seja, 3 partes.
Em ambos os casos, o resultado será 30° ou π/6 (ver 2ª imagem em anexo, onde está representado 30° em rad).
Agora, vamos focar na Fórmula de Moivre. Usaremos as seguintes fórmulas:
Onde:
zₖ é cada um dos 12 números complexos;
θₖ é o argumento de cada um dos 12 números complexos.
n é a quantidade de raízes/número complexo, ou seja, 12.
No argumento de cada um dos complexos, podemos substituir o valor de k por 2 e 8, como foi dado pelo enunciado. O valor de θ a ser usado deverá ser π/6. Vamos aos cálculos do argumento de z₂.
Para converter esse ângulo em radianos (°), podemos substituir o valor de π por 180°. Teremos:
Agora, vamos ao cálculo do número complexo em sua forma algébrica. A primeira fórmula que igualei z foi ρ • cis, que é uma abreviação de ρ • (cos θ + i sen θ) para ajudar na memorização. Como descobrimos um ângulo não notável, o único meio que nos resta é usar uma Tabela Trigonométrica (3ª imagem em anexo) para obter valores para o seno e cosseno de 62° ou 63°, que são mais usuais que 62,5. Adotarei os valores para 62° (sen = 0,883; cos = 0,469). Vamos aos cálculos.
Agora, o mesmo processo feito para esse caso será feito para z₈. Vamos aos cálculos direto.
Convertendo para radianos (°), teremos:
Nesse caso, adotarei o ângulo como sendo igual a 92° (sen = 0,999; cos = -0,035). Vamos aos cálculos.
Assim, temos as formas algébricas dos números complexos.
Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.
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