Question

A figura a seguir mostra um retângulo ABCD decomposto em dois quadrados e um retângulo menor, BCFE. Quando BCFE é semelhante a ABCD, dizemos que ABCD é um retângulo de prata, e a razão �� �� é chamada razão de prata. Qual é o valor da razão de prata nesse caso?

Answer 1

Resposta:

LETRA C

Explicação:

Primeiramente, chamarei o comprimento AD de x e o comprimento EB de y

note que AE = DF = 2AD = 2FE = 2CB = 2x

e FC = EB = y

a questão nos fala que \frac{AB}{AD}ADAB = \frac{FE}{EB}EBFE podemos escrever isso como: \frac{2x+y}{x}x2x+y = \frac{x}{y}yx

multiplicando os dois lados por x.y temos: 2x.y + y²= x²

perceba que essa equação é muito parecida com x² + 2xy + y², então pra chegar a essa equação, iremos somar x² dos dois lados, obtemos então:

x² + 2xy + y² = 2x²

usando o produto notável do quadrado da soma (a + b)² = a² + 2ab + b²

(x + y)² = 2x²

tiramos a raiz dos dois lados:

x + y = x√2

subtraio x dos dois lados para isolar o y e coloco o x em evidência:

y = x√2 - x ⇔ y = x(√2 - 1)

Como a questão nos pede a razão \frac{AB}{AD}ADAB basta substituirmos o y na equação, temos então:

\frac{AB}{AD}ADAB = \frac{2x+y}{x}x2x+y = \frac{2x + x(\sqrt{2} - 1) }{x}x2x+x(2−1) = \frac{x (2+\sqrt{2} - 1) }{x}xx(2+2−1) = {1 + \sqrt{2}

RESPOSTA CERTA LETRA C