Question

A figura a seguir mostra parte do gráfico da função polinomial f: R => R, definida por: f(x) = x³ + px² + qx + r

Sabendo que F possui 2 raízes reais opostas, determine:

a) o número de raízes reais de f;
b) as raízes da equação f(x) = 0;
c) os valores de p, q e r.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Note que o gráfico intercepta o eixo x em três pontos diferentes. Cada ponto corresponde a uma raiz real

Assim, f possui 3 raízes reais

b) Veja que o gráfico passa pelo ponto (0, 0)

Então, 0 é raiz dessa função e f(0) = 0

f(x) = x³ + px² + qx + r

f(0) = 0³ + p.0² + q.0 + r

f(0) = 0 + 0 + 0 + r

f(0) = r

Logo, r = 0

Além disso, f possui duas raízes opostas (a soma de dois números opostos é zero)

Desse modo, a soma das raízes de f é zero

$\sf S=\dfrac{-p}{1}$

$\sf S=-p$

$\sf -p=0$

$\sf p=0$

Assim, f(x) = x³ + qx

O gráfico passa pelo ponto (-√3, 6√3), então f(-√3) = 6√3

f(-√3) = (-√3)³ + q.(-√3)

f(-√3) = -3√3 - √3.q

f(-√3) = √3.(-3 - q)

√3.(-3 - q) = 6√3

-3 - q = 6

q = -3 - 6

q = -9

Logo, f(x) = x³ - 9x

x³ - 9x = 0

x.(x² - 9) = 0

• x' = 0

• x² - 9 = 0

x² = 9

x = √9

x" = 3

x'" = -3

As raízes são 0, 3 e -3

c) Temos que:

• p = 0

• q = -9

• r = 0