Question

A figura a seguir, contém um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r, desenvolva o cálculo do valor da área destacada (hachurada) na figura, sabendo-se que o lado do triângulo possui 6 cm.(Considere ≅ 3,1 e √3 ≅ 1,7)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Funciona da seguinte forma:

A área do círculo é pir². Ele não dá o valor de r, portanto, a área do circulo é 3,1r².

A área do triângulo equilátero é L²√3/4. Se L= 6, a área do triângulo é 15.3 cm².

Se você perceber, o r coincide com parte da altura (do centro pro vértice) do triângulo, conhecido como 2h/3. O h= L√3/2, h=5.1 cm. Por isso, r = 10.2/3= 3.4 cm²

Assim, 3.1 x (3.4)² = 35.8 cm² - a área do círculo.

35.8 (área do círculo) - 15.3 (triângulo) = 20.5 cm². área hachurada.

Answer 2

A área em preto é a diferença entre a área do círculo e a área do triângulo equilátero:

$A_{preto} = A_{circ} - A_{tr}$

A área do círculo é dada por:

$A_{circ}=\pi \cdot r^2$

Onde r é o raio do círculo.

A área do triângulo equilátero é dada por:

$A_{tr} = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4}$

Onde $\ell$ é o lado do triângulo.

Assim a área em preto pode ser escrita como:

$A_{preto} = \pi \cdot r^2 - \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4}$

Como sabemos que o lado vale 6, tudo que precisamos agora é encontrar o raio. Sabendo que este triângulo é equilátero e temos uma circunferência inscrita, o raio do círculo equivale à 2/3 da altura do triângulo:

$r = \dfrac{2}{3} \cdot h$

E a altura do triângulo equilátero é dada por:

$h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \ell}$

Então:

$r = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \ell}$

$r = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \ell}$

Substituindo:

$A_{preto} = \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \ell}\right)^2 - \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4}$

$A_{preto} = \pi \cdot \dfrac{3}{9} \cdot \ell^2 - \dfrac{\sqrt{3} \cdot \ell^2}{4}$

O lado mede 6:

$A_{preto} = \pi \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 6^2 - \dfrac{\sqrt{3} \cdot 6^2}{4}$

$A_{preto} = \pi \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 36 - \dfrac{\sqrt{3} \cdot 36}{4}$

$A_{preto} = 12 \cdot \pi - 9 \cdot \sqrt{3}$

Agora, basta substituir $\pi = 3,1$ e $\sqrt{3} = 1,7$:

$A_{preto} = 12 \cdot 3,1 - 9 \cdot 1,7$

$A_{preto} = 37,2- 15,3$

$\boxed{A_{preto} = 21,9}$