Question

A figura a seguir contem dois quadrados, cada um com lados de tamanho 1 cm, um triangulo equilátero e uma circunferência tangenciando o triangulo e um dos quadrados.
Utilizando as informações contidas na figura, calcule o raio da circunferência.

Answer 1

Veja que o triângulo cujo ângulo de 45º é dado pelo exercício é isósceles e retângulo, já que possui um dos lados adjacente com o quadrado.

Sendo assim, o lado que ele tem em comum com o triângulo equilátero valerá o mesmo que a diagonal do quadrado, ou seja √2.

Traçamos então um segmento de reta que liga o centro da circunferência com o vértice em comum do triângulo equilátero e do quadrado. Esse segmento é formado pelo raio e pela altura do triângulo, já que a circunferência é tangente ao mesmo.

Conseguimos então formar um triângulo retângulo (azul na imagem) cuja hipotenusa é a altura do triângulo equilátero somada com o raio da circunferência. Um dos catetos é o lado do quadrado menos o raio e o outro é o segmento que vale 2 menos o raio.

Podemos calcular a altura h do triângulo por:

$h = \dfrac{l\sqrt3}{2}$

$h = \dfrac{\sqrt2\sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt6}{2}$

E assim fazer um Teorema de Pitágoras para encontrar r.

$\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2} + r \right)^2 = (1-r)^2+(2-r)^2\\[2ex]9 + r\sqrt{6} + r^2 = 1-2r+r^2 + 4 -4r + r^2\\[1ex]r^2 +r(-6 -\sqrt6)-4 = 0$

Para resolver vamos usar Fórmula de Bhaskara

$\Delta = (-6-\sqrt6)^2 -4.1(-4)\\[1ex]\Delta = 36 + 12\sqrt6 + 6 + 16\\[1ex]\Delta = 58 + 12\sqrt6$

E por fim, r será:

$r_1 = \dfrac{-6-\sqrt6+\sqrt{58+12\sqrt6}}{2}$

$r_2 = \dfrac{-6-\sqrt6-\sqrt{58+12\sqrt6}}{2}$

Encontramos dois valores para r, porém o segundo é negativo, então apenas o primeiro nos serve.