Question

A figura a seguir apresenta quadro retângulos. Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e congruentes. Os ângulos HÂG e DÂE possuem a mesma medida. Determine essa medida em graus.

Answer 1

Resposta: β = π/6 ou 30°

Explicação passo-a-passo:

tan β = y / 3x

tan β = x / y

y ² = 3x ²

y = x √3

tan β = x / x √3

tan β = 1/ √3

tan β = √3/3 ∴ β = π/6

Answer 2

Olá, vamos lá.

Para responder a questão, presumo que já tenha um conhecimento básico de trigonometria.

Vamos formar os ângulos que a questão está pedindo. Para melhor compreensão verifique no anexo o ângulo "x", sendo ele formado por: $H\^AG\;e\;D\^AE$

Prosseguindo vamos dar aos lados dos retângulos medidas quaisquer, chamarei de "a" a largura e "b" a altura. Peço, de novo, que verifique o anexo.

Temos então formados dois triângulos retângulos que dependem de lados com as mesmas incógnitas.

Aplicando trigonometria, temos a tangente.

$tg(\alpha)=\dfrac{cateto\;oposto}{cateto\;adjacente}$

Vamos primeiro verificar o triângulo HAG:

$tg(x)=\dfrac{a}{b}$

Agora o triângulo EAD:

$tg(x)=\dfrac{b}{3a}$

Agora temos duas equações com as mesmas incógnitas podemos isolar e substituir.

Isolarei o "b" da segunda equação:

$tg(x)=\dfrac{b}{3a}$

$tg(x)\cdot3a=b$

Agora substituirei na primeira:

$tg(x)=\dfrac{a}{b}$

$tg(x)=\dfrac{\backslash\!\!\!a}{tg(x)\cdot3\backslash\!\!\!a}$

$tg(x)=\dfrac{1}{tg(x)\cdot3}$

Passando a tg(x) multiplicando para outro lado:

$tg^2(x)=\dfrac{1}{3}$

Contrário de potenciação é radiciação:

$tg(x)=\sqrt{\dfrac{1}{3}}$

$tg(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Agora é necessário fazer racionalização para tirar a raiz do denominador:

$tg(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$tg(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Quase terminou, agora só é preciso lembrar qual ângulo tem esse valor na tangente.

Por ser um ângulo notável é necessário lembrar que:

$tg(30\°)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Portanto, concluí-se que:

$\boxed{x=30\°}$

Espero que tenha entendido, bons estudos.