Question

A figura 2 abaixo mostra o quadrado ABCD de perímetro 16 cm, com linhas curvas que são arcos de circunferência centrados em B e D. O valor da área sombreada, em cm quadrados, é?​

Answer 1

O perímetro é a soma dos quatro lados do quadrado. Como os quatro lados são iguais:

$P = 4 \cdot \ell$

$\ell = \dfrac{P}{4}$

Dado que o perímetro é 16:

$\ell = \dfrac{16}{4}$

$\ell = 4 \text{ cm}$

Agora perceba que a diagonal do quadrado é exatamente igual a soma dos raios das duas circunferências:

$D = r_1 + r_2$

A diagonal de um quadrado é dada por:

$D = \sqrt{2} \cdot \ell$

Assim:

$D = \sqrt{2} \cdot 4$

$D = 4 \cdot \sqrt{2} \text{ cm}$

Agora, olhando o traçado entre os pontos A e C percebe-se que as circunferências são perfeitamente simétricas, ou seja, são iguais e seus raios também:

$D = r + r$

$D = 2 \cdot r$

$r = \dfrac{D}{2}$

$r = \dfrac{4 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$r = 2\cdot \sqrt{2} \text{ cm}$

Dado que B e D são os centros das circunferências, a área ocupada por cada uma das circunferências é um quarto de sua área total. Como os raios são iguais, a área total ocupada pelas duas circunferências será:

$A_{circ} = \dfrac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{4} = \dfrac{\pi \cdot r^2}{2}$

Assim:

$A_{circ}= \dfrac{\pi \cdot (2 \cdot \sqrt{2})^2}{2}$

$A_{circ}= \dfrac{\pi \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2}^2}{2}$

$A_{circ}= \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 2}{2}$

$A_{circ}= \dfrac{8 \cdot \pi}{2}$

$A_{circ}= 4 \cdot \pi$

Agora, a área sombreada da figura é simplesmente a área do quadrado menos a área dos círculos em branco (A_circ):

$A_{somb} = A_{quad} - A_{circ}$

$A_{somb} = \ell^2 - 4 \cdot \pi$

$A_{somb} = 4^2 - 4 \cdot \pi$

$A_{somb} = 4 \cdot 4 - 4 \cdot \pi$

Como o 4 é comum a ambos os ambos os termos, podemos fatorar a expressão e tirá-lo para fora:

$\boxed{A_{somb} = 4 \cdot (4 - \pi)}$

Alternativa C