A face superior de uma peça é definida pelos segmentos de reta AB e CD da figura apresentada, os quais se encontram no ponto P. Isto é uma situação comum na qual desejamos, por exemplo, utilizar uma fresadora CNC para furar o ponto de cruzamento dos segmentos que ligam os vértices da superfície de uma peça. Nesta situação, o microprocessador que controla a posição da ferramenta de corte necessita da posição exata do ponto a ser perfurado.
As equações vetoriais de AB e CD são:
AB: (x, y, z) = (2, 0, 2) + t(4, 6, -2), 0 = t = 1;
CD: (x, t, z) = (10, 1, 3) + h(-9, 6, 1), 0 = h = 1.
Considerando a figura apresentada, pode-se afirmar que as coordenadas do ponto P são
Soluções para a tarefa
Considerando o enunciado da questão e os conhecimentos referentes a pontos e vetores, é possivel afirmar que não existe intersecção entre a reta AB e CD , portanto o ponto P não existe. Porém supondo uma reta CD: (x,y,z) = (4,7,21) + h(0,1,5), as coordenadas do ponto P são P=(4,3,1).
Sobre pontos e vetores:
A questão nos fornece dados de duas retas em , definidas por um ponto somados a um escalar multiplicando um vetor. Neste caso, para encontrar o ponto de intersecção, basta igualar as duas equações e encontrar os valores de "t" e "h" que satisfaçam a igualdade. Porém, ao executar esta igualdade nas equações vetoriais apresentadas, percebemos que as retas não se intececcionam, de forma que o ponto P não existe (para comprovar visualmente, basta colocar as equações no site geogebra e verá).
Dessa forma, vou supor uma reta que intersecciona a reta AB e farei o mesmo processo para caso o exercício estivesse correto. Supondo então a reta CD: (x,y,z) = (4,7,21) + h(0,1,5), teremos
,
Agora, temos três equações e duas incógnitas, portanto, basta encontrar o escalar "t" ou "h", e aplicá-lo em sua equação de origem. Desse modo, usando a primeira igualdade, percebemos facilmente que t = 1/2, logo:
Portanto, nosso ponto P = (4,3,1) para a reta CD suposta.
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