Question

A expressãoo i³¹ - i¹¹0 é equivalente a:
a) 1-i
b -1+i
c)1+i
d) i
e) -1-i

Answer 1

$i^{n}$

Dividindo n por 4, sabemos que:

$n=4\cdot quociente+resto\\n=4q+r$

Logo:

$i^{n}=i^{4q+r}\\i^{n}=i^{4q}\cdot i^{r}\\i^{n}=(i^{4})^{q}\cdot i^{r}\\i^{n}=(1)^{q}\cdot i^{r}\\i^{n}=i^{r}$

Logo, podemos escrever 'i' elevado a um número qualquer (de preferência um número relativamente grande) como 'i' elevado a r, sendo r o resto da divisão desse número por 4
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$i^{31}-i^{110}$

Dividindo 31 por 4, chegamos em resto 3 ---> i³¹ = i³ = - i
Dividindo 110 por 4, chegamos em resto 2 ---> i¹¹º = i² = - 1

$i^{31}-i^{110}=i^{3}-i^{2}\\i^{31}-i^{110}=-i-(-1)\\i^{31}-i^{110}=-i+1\\\\\\\boxed{\boxed{i^{31}-i^{110}=1-i}}$

Letra A