Question

A expressão Sn = n^2 - 3n, para qualquer n inteiro positivo, representa a soma dos n primeiros termos de uma PA. Determine os 5 primeiros termos dessa PA .

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ana, que é simples.
Tem-se que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA (com "n" inteiro e positivo) é dada por:

Sn = n² - 3n .

Como "n" é inteiro e positivo, então vamos iniciar com n = 1.
Agora note: quando "n" for igual a "1" estaremos encontrando a soma do primeiro termo com "ninguém" mais. Logo, quando substituirmos o "n" por "1" na fórmula acima estaremos encontrando também o valor do próprio primeiro termo.
Então vamos fazer as substituições por "1", por "2", por "3", por "4" e por "5", pois estamos querendo os 5 primeiros termos da PA.

i) Para n = 1, na fórmula Sn = n² - 3n, temos;

S1 = 1² - 3*1
S1 = 1 - 3
S1 = - 2 ------- como a soma do primeiro termo com "ninguém" dá o valor do próprio primeiro termo, então já temos que:

a1 = - 2  <---- Este é o valor do primeiro termo:

ii) Para n = 2, na fórmula Sn = n² - 3n, teremos:

S2 = 2² - 3*2
S2 = 4 - 6
S2 = - 2 .

Mas veja que quando n = 2, estamos encontrando a soma do primeiro termo (a1) com o segundo termo (a2). Ou seja, temos que:

a1 + a2 = - 2 ------ como a1 = - 2, vamos substituir, ficando:
-2 + a2 = - 2
a2 = - 2 + 2
a2 = 0 <---- Este é o valor do 2º termo.

iii) Para n = 3, na fórmula Sn = n² - 3n, teremos:

S3 = 3² - 3*3
S3 = 9 - 9
S3 = 0 <---- Veja que nesta soma temos a soma dos três primeiros termos, ou seja, nesta soma temos que:

a1 + a2 + a3 = 0 ----- como a1 = - 2, como a2 = 0, então teremos:

-2 + 0 + a3 = 0 --- ou apenas:
-2 + a3 = 0 ----- passando "-2" para o 2º membro, temos que:
a3 = 2 <--- Este é o valor do 3º termo.

iv) Para n = 4, na fórmula Sn = n² - 3n, temos:

S4 = 4² - 3*4
S4 = 16 - 12
S4 = 4 <----- veja que aqui temos a soma dos 4 primeiros termos. Logo:

a1 + a2 + a3 + a4 = 4 ----- substituindo "a1" por "-2", "a2" por "0", e "a3" por "2", ficaremos com:

- 2 + 0 + 2 + a4 = 4 ----- ou apenas:
-2 + 2 + a4 = 4 ----- ou:
0 + a4 = 4 --- ou, finalmente:
a4 = 4 <--- Este é o valor do 4º termo.

v) Para n = 5, na fórmula Sn = n²- 3n, temos;

S5 = 5² - 3*5
S5 = 25 - 15
S5 = 10 <---- Mas aqui temos a soma dos 5 primeiros termos, ou seja:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 10 ----- substituindo "a1" por "-2", "a2" por "0", "a3" por "2" e "a4" por "4", teremos:

- 2 + 0 + 2 + 4 + a5 = 10 --- ou:
4 + a5 = 10 ---- passando "4" para o 2º membro, temos:
a5 = 10 - 4
a5 = 6 <---- Este é o valor do 5º termo.

vi) Dessa forma, resumindo, temos que os 5 primeiros termos dessa PA são:

a1 = - 2
a2 = 0
a3 = 2
a4 = 4
a5 = 6

Ou seja, a PA, com os seus 5 primeiros termos, será esta:

(-2; 0; 2; 4; 6)

Como se vê, trata-se de uma PA, cujo primeiro termo é "-2" e cuja razão (r) é igual a "2".

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.