Question

A expressão seguinte relaciona o valor V, em reais que um objeto de arte t anos apos a sua aquisição:v(t)=500.2^kt (k é uma constante positiva)a) sabendo que o valor do objeto,após três anos da sua aquisição, é de r$2000,00,determine o valor k.b) por qual valor esse objeto de arte foi adquirido?c) qual é o tempo necessário para que o valor do objeto seja de R$5000,00

Answer 1

a)
$V(3) = 500*2^{3k}= 2000$

$2^{3k}= \frac{2000}{500} = 4 = 2^2 3k = 2$

$k = \frac{2}{3}$
b) V(0)  = 500 * 2^0 = 500*1 = 500

c)
$V(t) = 500*2^{ \frac{2t}{3} } = 5000$
$500*2^{ \frac{2t}{3}} = 5000 2^{ \frac{2t}{3}} = 10$
$\frac{2t}{3} *log2 = log10$
$t = \frac{3}{2log2}$

Answer 2

Letra a) O valor de k na função é de 2/3.

Letra b) O objeto foi adquirido pelo valor de R$500,00.

Letra c) O tempo necessário para o objeto valer R$5000,00 é de 1 ano e 1 mês, aproximadamente.

A função apresentada na questão é uma função exponencial. Os resultados podem ser obtidos por meio dos conhecimentos de equações exponenciais e logaritmos.

Como trabalhar com uma função exponencial?

• Letra a)

Para determinar o valor de k, basta igualar o valor do objeto à expressão que está em função do tempo t e substituir essa variável pelo tempo de 3 anos. Assim, a incógnita é o valor de k.

Para encontrar k, devemos fazer a resolução da equação exponencial:

2000 = 500*$2^3^k$

$2^3^k$ = 2000/500

$2^3^k$ = 4

$2^3^k$ = 2²

3k = 2

k = 2/3

• Letra b)

Para encontrar o valor pelo qual o objeto foi adquirido, basta substituir o valor de k encontrado no item anterior na função, considerando o tempo de 0 anos:

v(0) = 500*$2^(^2^/^3^)^*^0$

v(0) = 500*$2^0$

v(0) = 500*1

v(0) = 500

Portanto, o objeto foi adquirido por R$500,00.

• Letra c)

Para encontrar o tempo, devemos igualar o valor de 5000 à expressão de v(t).

5000 = 500*$2^3^t$

$2^3^t$ = 5000/500

$2^3^t$ = 10

Nesse caso, devemos aplicar o logaritmo de base 2 nos dois lados da equação, para obtermos o valor de t:

log2($2^3^t$) = log2(10)

3t = 3,322

t = 3,322/3

t = 1,1 ano

Mais precisamente:

1,1 ano = 1 ano e 0,1*12 meses ≅ 1 ano e 1 mês

Para aprender mais sobre função exponencial, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/21310234

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