Question

A expressão que indica u=(-2,1,3) como combinação linear da base B1= (1,-1,1), B2=(0,1,0), B3=(0,1,1) é?

Answer 1

Sejam $\alpha_{1},\;\alpha_{2},\,\alpha_{3}$ escalares reais. Utilizando estes escalares como coeficientes para os vetores, a combinação linear pedida é

$\mathbf{u}=\alpha_{1}\mathbf{B_{1}}+\alpha_{2}\mathbf{B_{2}}+\alpha_{3}\mathbf{B_{3}}\\ \\ \left(-2,\,1,\,3 \right )=\alpha_{1}\left(1,\,-1,\,1 \right )+\alpha_{2}\left(0,\,1,\,0 \right )+\alpha_{3}\left(0,\,1,\,1 \right )$


Agora, temos que encontrar estes escalares. Rearrumando a igualdade acima, podemos escrever

$\left(\begin{array}{c} -2\\ 1\\ 3 \end{array} \right )=\left(\begin{array}{c|c|c} 1&0&0\\ -1&1&1\\ 1&0&1 \end{array} \right )\cdot \left(\begin{array}{c} \alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3} \end{array} \right )\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{rcl} -2&=&\alpha_{1}\\ 1&=&-\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}\\ 3&=&\alpha_{1}+\alpha_{3} \end{array} \right.$


Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos

$\alpha_{1}=-2,\;\;\alpha_{2}=-6,\;\;\alpha_{3}=5$


Finalmente, podemos escrever

$\mathbf{u}=-2\mathbf{B_{1}}-6\mathbf{B_{2}}+5\mathbf{B_{3}}\\ \\ \left(-2,\,1,\,3 \right )=-2\cdot \left(1,\,-1,\,1 \right )-6\cdot \left(0,\,1,\,0 \right )+5\cdot \left(0,\,1,\,1 \right )$