Question

a expressao da derivada y' para a função y=fx dada implicitamente pela expresssao x³y+y²-4x²=13

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Devemos encontrar a derivada implícita $y'$ da função $y=f(x)$, dada por:

$x^3y+y^2-4x^2=13$.

Diferenciamos ambos os lados da equação em respeito à variável $x$.

$(x^3y+y^2-4x^2)'=(13)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de um produto é dada pela regra do produto: $[g(x)\cdot h(x)]'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada implícita de uma função é calculada pela regra da cadeia: $(f(u))'=f'(u)\cdot u'$.
• A derivada de uma constante é igual a zero, logo pela regra do produto: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.

Aplique a regra da soma e a regra da constante

$(x^3y)'+(y^2)'+(-4x^2)'=0$

Aplique a regra do produto e a regra da cadeia

$(x^3)'\cdot y+x^3\cdot y'+(y^2)'\cdot y'-4\cdot(x^2)'=0$

Aplique a regra da potência

$3x^2\cdot y+x^3\cdot y'+2y\cdot y'-4\cdot2x=0$

Multiplique os valores

$3x^2 y+x^3 y'+2y y'-8x=0$

Some os termos semelhantes

$3x^2 y+(x^3+2y)y'-8x=0$

Some $8x-3x^2y$ em ambos os lados da equação

$(x^3+2y)y'=8x-3x^2y$

Divida ambos os lados da equação por $x^3+2y,~(x,~y)\neq(0,~0)$

$y'=\dfrac{8x-3x^2y}{x^3+2y}$

Esta é a derivada implícita dessa função.