Question

A expressão cos^4 (x/2) - sen^4 (x/2) é igual a:
a) sex b) - sen x c) cos x d) - cos x e) cos 2x

Answer 1

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Identidades trigonométricas utilizadas:

     •  Cosseno do arco duplo:    cos²(θ) – sen²(θ) = cos(2θ)

     •  Relação Trigonométrica Fundamental:    cos²(θ) + sen²(θ) = 1

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Tomemos a expressão dada:

     $\mathsf{cos^4\!\left(\dfrac{x}{2}\right)-sen^4\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{=\left[cos^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]^2-\left[sen^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]^2}$


Fatore a diferença de quadrados usando produtos notáveis:

     •  a² – b² = (a – b) · (a + b)

para  a = cos²(x/2)   e   b = sen²(x/2).


Então, a expressão fica

     $\mathsf{=\left[cos^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)-sen^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]\cdot \left[cos^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+sen^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]}$


Aplique o cosseno do arco duplo no  1º  fator,  e a relação trigonométrica fundamental no  2º  fator,  para  θ = x/2:

     $=\mathsf{cos\bigg(\diagup\!\!\!\! 2\cdot \dfrac{x}{\diagup\!\!\!\! 2}\bigg)\cdot 1}$

     $\mathsf{=cos\,x}$   <————   esta é a resposta.


Resposta:  alternativa  c)  cos x.


Bons estudos! :-)