Question

A expressão (2^-1 + 2^-1/2)^-2 tem valor igual a? A resposta é 4(3 - 2√2)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, amigo, que a resolução é simples.
Pede-se o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = (2⁻¹ + 2⁻¹/²)⁻².

Primeiro vamos procurar resolver o que estiver dentro dos parênteses. Depois é que levaremos em conta o expoente "-2" que está fora dos parênteses.
Então veja que: 2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2; e 2⁻¹/² = 1/2¹/² = 1/√(2). Assim, substituindo, teremos:

y = [1/2 + 1/√(2)]⁻²

MMC no denominador é "2√(2)". Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

y = [(1*√(2) + 1*2)/2√(2)]⁻²
y = [(√(2) + 2)/2√(2)]⁻² ----- agora utilizaremos o expoente "-2", com o que ficaremos assim:

y = 1/[(√(2) + 2)/2√(2)]² ---- desenvolvendo o quadrado, teremos:
y = 1/[(√2²)+2*2√(2)+2²)/(2√(2))²]
y = 1/[2 + 4√(2) + 4]/2².(√2²)]
y = 1/[6 + 4√(2)]/4*2
y = 1/[6+4√(2)]/8 ----- veja que isto é equivalente a:

y = 8/[6+4√(2) ---- para facilitar, poderemos dividir numerador e denominador por "2", com o que ficaremos assim:

y = 4/[3 + 2√(2)] ---- finalmente, para racionalizar, multiplicaremos denominador e numerador pelo conjugado do denominador, que vai ser [3-2√(2)]. Assim, fazendo isso, teremos;

y = 4*[3-2√(2)]/[3+2√(2)]*[3-2√(2)] ----- desenvolvendo, ficaremos com:

y = 4*[3 - 2√2)]/[3² - (2√(2))²] ----- desenvolvendo, teremos;
y = 4*[3 - 2√(2)]/[9 - 2².(√(2²)]
y = 4*[3 - 2√(2)]/[9 - 4*2]
y = 4*[3 - 2√(2)/[9-8]
y = 4*[3-2√(2)]/1 --- ou apenas:
y = 4*[3 - 2√(2)] <--- Esta é a resposta. É assim que fica no final, após feitas todas as simplificações.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.