Question

a) Explique, em detalhes, qual a estratégia que pode ser adotada para demonstrar a validade do seguinte resultado para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais: P(n): 1 + 31 + 32 + ... + 3n = (3n+1 - 1)/2 b)

Answer 1

A estratégia que pode ser adota para demonstrar a validade o resultado para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais é a progressão geométrica.

Note que a soma 1 + 3¹ + 3² + ... + 3ⁿ pode ser escrita da seguinte forma: 1 + 3 + 9 + ... + 3ⁿ.

Além disso, observe que a sequência (1, 3, 9, ..., 3ⁿ) é uma progressão geométrica de razão 3 (perceba que o próximo termo é o anterior multiplicado por 3).

A soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada pela seguinte fórmula:

• $S=\frac{a_1(q^n - 1)}{q-1}$, sendo a₁ = primeiro termo, q = razão e n = quantidade de termos.

Como vimos, q = 3. Além disso, a₁ = 1 e existem n termos na sequência. Portanto, a soma de todos os termos é igual a:

$S=\frac{1(3^n - 1)}{3 - 1}$

$S=\frac{3^n - 1}{2}$.

Assim, a estratégia é utilizar a progressão geométrica.