Matemática, perguntado por MuriloAnswersGD, 6 meses atrás

A existência de Lim(1+1/n)^n quanto n -> ∞​


MatiasHP: Sapo, é para comprovar a existência, certo?
MuriloAnswersGD: SAPO?
MuriloAnswersGD: sim

Soluções para a tarefa

Respondido por SwiftTaylor
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Esse limite \boxed{\boxed{\sf lim(1+\frac{1}{n})n\to\infty }} é irracional.

Resolução

Para saber se esse limite existe primeiramente nós temos que mostrar que a sequência \sf \displaystyle \sf S_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}, n=1,2,3\cdots converge para um limite á medida de \sf n cresce indefinidamente. Esta soma aumente com cada termo adicional, e assim temos \sf S_n<S_{n+1} para todo aumenta monotonamente. Começando com  \sf n=3, também teremos \sf n!=1\cdot2\cdot3 ~...\cdot n>1\cdot2\cdot2 \cdot ...2=2^{n-1} então:

\sf \displaystyle \sf S_n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}}~ Para~n=3,4,5\cdots

Agora, nesta última soma, os termos a partir do segundo formam uma PG com razão \sf \dfrac{1}{2} . O somatório dessa PG é \sf \dfrac{\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) }{\left(1-\dfrac{1}{2} \right)} =2\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)<2 Daí teremos que \sf S_n<1+2=3, Mostrando que a sequência \sf S_n é limitada superiormente por 3 ou seja os valores de \sf S_n nunca excedem em 3. Agora utilizaremos o teorema de análise(Toda sequência monótona crescente e limitada, tende para um limite quando \sf N\to\infty. Então \sf S_n Converge para um limite S ou seja S encontra-se entre 2 e 3.

Agora Vamos considerar a sequência \sf T_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n. Agora nós temos que essa sequência também converge para o mesmo limite de \sf S_n, Para isso vamos usar o teorema Binomial >

\sf \displaystyle \sf T_n=1+n\cdot\dfrac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^2} +\cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{n!} \cdot \frac{1}{n^n}=1=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{2!}+\cdots

\sf \displaystyle \sf \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n} \right)\cdot\frac{1}{n!}

Como a expressão dentro de cada par de parênteses é menor que 1, então \sf T_n \leq S_n,n=2, Então, a sequência \sf T_n também tem um limite superior. Além disso  onótona crescente, por que substituir n por b=1 só vai fazer a soma aumentar, Então \sf T_n também converge para um limite á medida que  \sf N\to\infty.

Agora Temos \sf S=T. Como \sf S_n \geq T_n para todo n, teremos \sf S\geq T. Agora Vamos demostrar que, ao mesmo tempo \sf S\leq T. Seja \sf m<n um número fixo. Os primeiros termos \sf m=1~de ~T_n são:

\displaystyle \sf 1=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{2!}+\cdots\sf \displaystyle \sf \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n} \right)\cdot\frac{1}{n!}

Como \sf m<n e todos os termos são positivos, então a última soma é menor que \sf T_n, Então vamos deixar n aumentar sem limite enquanto mantermos m fixo. A soma tenderá para \sf S_n enquanto \sf T_n tenderá para T. então temos \sf S_m\leq T, e, consequentemente, \sf S\leq T. Como já provamos que \sf S\geq T, então \sf S=T, que é exatamente o que queremos Provar. Então T é o número ''e''.

Agora vamos provar que ''E'' é irracional, Para isso vamos fazer \sf e=\dfrac{p}{q}, pois p e q são inteiros, Já mostramos que \sf 2<~e <3, assim ''e'' não pode ser inteiro e consequentemente o denominador q deve ser pelo menos 2. Agora vamos resolver a equação:

\sf \displaystyle \sf e=1+\dfrac{1}{1!}+\frac{1}{2!}  + \frac{1}{3!}+\cdots + \frac{1}{n!}  \cdots por \sf q!=1\cdot2\cdot3 \cdot ... \cdot q pelo lado esquerdo, então isso nos dá:

\sf \displaystyle \sf  e\cdot q!=\left(\frac{p}{q} \right)\cdot1\cdot2\cdot3 \cdot ... \cdot q=p\cdot1\cdot2\cdot3\cdot .. \cdot (q-1)

Enquanto no lado direito temos:

\displaystyle \sf [q!+q!+3\cdot4\cdot ... \cdot q +4\cdot5\cdot...\cdot+(q-1)\cdot q+q+1]+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\cdots

O lado esquerdo é obviamente é inteiro, porque trata-se de um produto de inteiros. No lado direito a expressão dentro das chaves também é inteiro. Mas os termos remanescentes são são inteiros porque cada denominador é pelo menos 3. Agora vamos mostra que sua soma, também não é um inteiro. Como \sf q\geq 2, temos:

\displaystyle \sf \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\cdots\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot4} +\cdots <\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3} }=\frac{1}{2}

Com isso temos um inteiro no lado esquerdo da equação e um não inteiro no lado direito, obviamente uma contradição, Daí segue que ''e'' não pode ser uma razão entre dois inteiros ou seja ele é irracional.

\Huge\underbrace{\sf The~Weeknd~A.K.A}

 

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Anexos:

SapphireAmethyst: que isso leke humilhou, muito bom :p
SwiftTaylor: Obrigado Pessoal
SwiftTaylor: Valeu mano
PenhaTop: Coisa linda Jesus
SwiftTaylor: Kk obrigado
Emerre: Sabe muito!
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