Question

A estrutura de madeira que sustenta um painel de propaganda tem a forma retangular de 8 m de comprimento e 6 m de largura. Essa estrutura e reforçada por uma peça fixada em sua diagonal e outras duas peças menores que ficam presas aos dois outros vértices e que são perpendiculares à peça da diagonal, conforme a figura a seguir.

Desprezando a espessura das peças de madeira, a distância entre as pontos P e Q é igual a:


Me salvem rapaziada.​

Answer 1

A distância entre os pontos P e Q é igual a 2,8 metros.

• Veja a figura anexa.
• Considere O e R, os pontos nas extremidades da diagonal do retângulo.
• Observe que a diagonal do retângulo o divide em duas partes simétricas, portanto OP ≅ QR (congruentes).

Considere as medidas:

OP = QR = a.

PQ = x

• Observe que a diagonal OR mede a + x + a, portanto OR = 2a + x.

• Use as Relações Métricas no Triângulo Retângulo, propriedade da média geométrica: O cateto é a média geométrica entre sua projeção  sobre a hipotenusa e a hipotenusa. (c² = p ⋅ h)

• No triângulo RSO:

cateto: 6

Projeção do cateto sobre a hipotenusa: a

hipotenusa: 2a + x

6² = a ⋅ (2a + x)

36 = 2a² + ax ①

• No triângulo ROT:

cateto: 8

Projeção do cateto: x + a

hipotenusa: 2a + x

8² = (x + a) ⋅ (2a + x) ⟹ Execute a operação distributiva da multiplicação.

64 = 2ax + x² + 2a² + ax ②

• Subtraia as equações ① e ② membro a membro

64 = 2ax + x² + 2a² + ax ②

36 = 2a² + ax  ⊖ ①

28 = 2ax + x² ③

• Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo ROT: "Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos".

(x + 2a)² = 6² + 8²

(x + 2a)² = 36 + 64

(x + 2a)² = 100

• Extraia a raiz quadrada de ambos os membros, observando que x e a são medidas de segmentos portanto descarta-se as respostas negativas.

x + 2a = 10 ⟹ Subtraia x de ambos os membros.

2a = 10 − x ⟹ Substitua essa equação na equação ③.

28 = 2ax + x² ③

28 = (10 − x)⋅x + x²

28 = 10x − x² + x²

28 = 10x ⟹ Divida ambos os membros por 10.

x = 2,8 m

A distância entre os pontos P e Q é igual a 2,8 metros.

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