Question

A escrita da frase a baixo está correta?

Today's morning enjoying the day and shooting with Ju´lia

E a tradução, bate com : Hoje pela manhã aproveitando o dia e fotografando com júlia.

Answer 1

A escrita está correta sim, a tradução não tem o sentido alterado, mas de uma maneira mais fiel seria:
Na manhã de hoje aproveitando o dia e fotografando com Júlia.

Answer 2

Não faz muito sentido o Today's morning, já que é algo que se aproxima do presente e o resto da frase faz mais sentido no passado ou data indefinida (dia da semana, por exemplo).
Não diria que está errado, mas soa como gíria ao invés de algo mais próximo do formal.