Question

a) Escreva o número 306 como produto de números primos b) Considere os números naturais a 217 x 328 x 710 29 x 52 x 716. Escreva o maior e b divisor comum e o menor múltiplo comum de a e b como produto de potências de c) números primos. positivos Quantos divisores inteiros número b 29 x 52 x 716 possui?

Answer 1

Olá.

 

Já havia resolvido essa questão antes, logo, posso afirmar que ela está com o enunciado embaralhado e pertence originalmente à UFF.

 

Organizo-o devidamente:

 

a) Escreva o número 306 como produto de números primos.

 

b) Considere os números naturais $\mathsf{a:}&\mathsf{2^{17}\times3^{28}\times7^{10}}$ e $\mathsf{b:}&\mathsf{2^{9}\times5^2\times7^{16}}$. Escreva o maior divisor comum e o menor múltiplo comum de a e b como produto de potências de números primos.

 

c) Quantos divisores inteiros positivos o número $\mathsf{b:}&\mathsf{2^{9}\times5^2\times7^{16}}$ possui?

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Questão A

 

Para resolver essa questão, basta fatorarmos o 306. Teremos:

 

$\begin{array}{rcl}306&|&2\\153&|&3\\51&|&3\\17&|&17\\1\end{array}$

 

Podemos reescrever como os fatores. Teremos:

 

$\mathsf{306=2\cdot3\cdot3\cdot17=2\cdot3^2\cdot17}$

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Questão B 

 

O divisor máximo de dois valores em formas potências é igual as potências com maior expoente que são comuns em ambas. Como exemplo, demonstro:

 

$\mathsf{\dfrac{ad^4}{bd^4}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d^4}{d^4}}$

 

No caso do exemplo, d⁴ é o divisor comum.

 

Para resolver essa questão, temos que usar duas propriedades de potências, que apresento abaixo:

 

     Produto de potências de mesma base. Nesses casos, se mantém a base e soma-se os expoentes. Segue um exemplo algébrico:

 

$\mathsf{a^{m}\cdot a^n=a^{m+n}}$

 

     Quociente de potências de mesma base. Nesses casos, se mantém a base e subtraem-se os expoentes. Segue um exemplo algébrico:

 

$\mathsf{a^{r}\div a^s=a^{r-s}}$

 

Expresso a e b em formas de fração, donde irei separar o divisor máximo como no exemplo, seguindo o que foi falado acima. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^{17}\times3^{28}\times7^{10}}{2^{9}\times5^2\times7^{16}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^{9}\times2^8\times3^{28}\times7^{10}}{2^{9}\times5^2\times7^{10}\times7^{6}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^8\times3^{28}\times2^{9}\times7^{10}}{5^2\times7^{6}\times2^{9}\times7^{10}}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^8\times3^{28}}{5^2\times7^{6}}\times\dfrac{2^{9}\times7^{10}}{2^{9}\times7^{10}}}$

 

Como demonstrado acima, o maior número (divisor) em comum à a e b é:

 

$\mathsf{2^9\times7^{10}}$

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Questão C

 

O número expresso por essa potência é divisível por cada interação entre seus componentes.

 

Para calcular a quantidade total de divisores, temos que combinar bases e suas potências. O meio de fazer isso é como produto das somas entre os expoentes + 1 (pela base).

 

Temos $\mathsf{b=2^{9}\times5^2\times7^{16}}$.

 

Para o cálculo que citei acima, teremos expoente (9 + 1) vezes (2 + 1) vezes (16 + 1), onde 9, 2 e 16 são expoentes, enquanto os “1s” se referem ao 2, 5 e 7, nessa ordem. Vamos aos cálculos de “Sd” (“Soma de divisores”).

 

$\mathsf{S_D=(9+1)\cdot(2+1)\cdot(16+1)}\\\\ \mathsf{S_D=(10)(3)(17)}\\\\ \mathsf{S_D=30(17)}\\\\ \underline{\mathsf{S_D=510}}$

 

O total de divisores é igual a 510.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$