Question

A escolha adequada do sistema de coordenadas pode facilitar a resolução de problemas. Para tanto, é necessário que se tenha domínio sobre as transformações entre os diferentes sistemas de coordenadas. Importante que essa habilidade seja acompanhada de uma visão espacial do sistema.
Considere o ponto ( 2 , 4,1) em coordenadas retângulares, é correto afirma que :


Escolha uma:


a. Em coordenadas cilíndricas ele corresponde a (3,42 ; 63,43 ; 1).

b. Em coordenadas cilíndricas ele corresponde a (3 ; 60 ; 1).

c. Em coordenadas cilíndricas ele corresponde a (4,47 ; 63,43 ; 2).

d. Em coordenadas cilíndricas ele corresponde a (4,47 ; 60,43 ; 1).

e. Em coordenadas cilíndricas ele corresponde a (4,47 ; 63,43 ; 1).

Answer 1

Um ponto $(x,\;y,\;z)$ do espaço em coordenadas retangulares pode ser descrito em função de uma distância $r,$ um ângulo $\theta$ e da cota $z$ (cota é a terceira coordenada do sistema de coordenadas retangulares):


(Relações de transformação de coordenadas cilíndricas para retangulares)

$\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos \theta\\ \\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta\\ \\ z=z \end{array} \right.$


Note que as mudanças foram feitas apenas nas coordenadas $x$ e $y$ do ponto.


As relações de transformação inversa são:

$\left\{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\ \theta=\mathrm{arctg\,}\dfrac{y}{x}\\ \\ z=z \end{array} \right.$


Obs.: Para o ângulo $\theta,$ a função $\mathrm{arctg}$ leva em conta o quadrante em que se encontra a projeção do ponto $(x,\;y,\;z)$ do espaço sobre o plano $xy.$

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Dado o ponto $(2,\;4,\;1)$ em coordenadas retangulares, vamos encontrar as coordenadas cilíndricas deste ponto:

$\bullet\;\;r=\sqrt{2^{2}+4^{2}}\\ \\ r=\sqrt{4+16}\\ \\ r=\sqrt{20}\approx 4,472\\ \\ \\ \bullet\;\;\theta=\mathrm{arctg\,}\dfrac{4}{2}\approx 63,43^{\circ}\\ \\ \\ \bullet\;\;z=1$


A resposta que mais se aproxima é a alternativa e.