Question

A equações horária do espaço referente ao movimento de um corpo é dada por : S=10+80.t-4t2 

A - Em que instante (t) e em que posição (s) o corpo para ?

B - Qual a distância percorrida pelo corpo desde de t= 0 para ?

C - Trace o gráfico da velocidade escalar em função de to = 0 até parar. 

Answer 1

O problema envolve movimento uniformemente variado, aonde a equação expressa na questão remete-se a esta:

S = So + Vot + at² / 2 

a) O instante (tempo) em que a partícula passa pela ORIGEM é quando o S = 0 (espaço igual a zero). Como o problema quer os instantes (tempos), vamos achá-los: 

S = 6 - 8*t + 2*t²
0 = 6 - 8*t + 2*t² 
2*t² - 8*t + 6 = 0 (arrumando a equação do 2º grau)

Δ = b²-4ac
Δ = (-8²) - 4*2*6
Δ = 64 - 48 
Δ = 16 

t = - b ± √Δ / 2a

t = 8 ± √16 / 4

t = 8 ± 4 / 4 

t' (instante 1) = 8 + 4 / 4 = 3s

t" (instante 2) = 8 - 4 / 4 = 1s

b) A inversão do movimento de um móvel ocorre quando v = 0. Inversão do sentido de movimento nada mais é do que "estar indo para a frente, reduzindo a velocidade, parar e dar a marcha-á-ré". Um movimento que era progressivo (e retardado) passa a ser retrógrado (e acelerado). Isso acontece quando a aceleração tem sinal oposto ao da velocidade inicial. Veja na equação: 

S = 6 - 8*t + 2*t² 

So = 6m; Vo = -8m/s ; a = 4m/s² (vale 4, pois na equação original do MUV, o lado direito é dividido por 2, aonde na equação informada pelo problema o valor de 4 já vem dividido pelo fator que divide a equação original que é o 2) 

Perceba que a velocidade inicial (Vo) tem um valor negativo frente a aceleração que possui um valor positivo.

Como a inversão do sentido do movimento é quando v = 0, então, o instante será: 

V = Vo + a*t 
0 = -8 + 4*t 
8 = 4*t
t = 8 / 4 
t = 2s 

No instante t = 2s, o móvel estará na posição...

S = 6 - 8*t + 2*t²
S = 6 - 8*2 + 2*2²
S = 6 - 16 + 8
S = -2m

c) Para determinar a velocidade no instante (tempo) de t = 4s:

V = Vo + a*t
V = - 8 + 4 * 4 
V = - 8 + 16 
V = 8m/s 

Para determinar a posição, utilizaremos a equação de Torricelli: 

V² = Vo² + 2*a*ΔS
8² = (-8)² + 2*4*ΔS
64 = 64 + 8*ΔS
64 - 64 = 8ΔS
0 = 8ΔS
ΔS = 0 / 8 
ΔS = 0 

Como ele quer a posição (S) e ΔS é S - So (posição final - posição inicial), teremos: 

ΔS = 0
S - So = 0
S - 6 = 0
S = 6m 

d) Para determinar a velocidade da partícula, utilizaremos a equação de Torricelli novamente: 

V² = Vo² + 2*a*ΔS

Como ΔS é S - So (posição final - posição inicial), teremos: 

ΔS = S - So
ΔS = 16 - 6 
ΔS = 10m

Finalizando, a velocidade obtida, será: 

V² = Vo² + 2*a*ΔS
V² = (-8)² + 2 * 4 * 10
V² = 64 + 80
V² = 144
V = 12m/s