Question

A equação x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0 é de uma circunferência cuja soma do raio e das coordenadas do centro é igual a:.

Answer 1

Resposta:

Podemos testar as coordenadas possíveis na forma da equação da circunferência

Sabemos que

(x-x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2(x−x

c

)

2

+(y−y

c

)

2

=r

2

Como temos a equação da circunferência

x^2 - 4x + y^2 + 6x - 3 = 0x

2

−4x+y

2

+6x−3=0

Podemos prestar atenção nos valores do coeficiente de cada variável de grau 1

Como a fórmula deveria nos dar

(y-y_c)^2 = y^2 - 2y\cdot y_c + y_c^2(y−y

c

)

2

=y

2

−2y⋅y

c

+y

c

2

Significa que podemos testar um valor no y do centro que, ao ser multiplicado por -2, nos dá 6

Logo, será -3

Assim como podemos fazer com o x do centro

Ao multiplicar um valor por -2, teremos -4

Logo, x do centro é 2

Temos a forma

(x-2)^2 + (y + 3)^2(x−2)

2

+(y+3)

2

A única coisa que nos difere é o raio, o qual devemos igualar toda a forma àquela que nos foi dada no enunciado

(x-2)^2 + (y + 3)^2 - r^2 = x^2 - 4x + y^2 + 6x - 3(x−2)

2

+(y+3)

2

−r

2

=x

2

−4x+y

2

+6x−3

Calcule os produtos notáveis

x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6x + 9 - r^2 = x^2 - 4x + y^2 + 6x - 3x

2

−4x+4+y

2

+6x+9−r

2

=x

2

−4x+y

2

+6x−3

Cancele os opostos

13 - r^2 = -313−r

2

=−3

Mude a posição do termo independente, alterando seu sinal

-r^2 = -3 - 13−r

2

=−3−13

Reduza os termos semelhantes

-r^2 = -16−r

2

=−16

Multiplique ambos os termos por -1

\begin{gathered}-r^2 = -16~~(-1)\\\\\ r^2 = 16\end{gathered}

−r

2

=−16 (−1)

r

2

=16

Calcule a raiz de ambos os lados

r=\pm4r=±4

Agora, podemos somar as coordenadas do centro e ver qual satisfaz a alternativa

\begin{gathered}r_1 + x_c + y_c = 4 + 2 - 3 = 3\\\\\\ r_2 + x_c + y_c = -4 + 2 - 3 = -5\end{gathered}

r

1

+x

c

+y

c

=4+2−3=3

r

2

+x

c

+y

c

=−4+2−3=−5

Como somente o 3 existe, podemos então considerar a resposta correta como Letra