Question

A equação |x(x+1)(x+2)|= x+1 tem quantas soluções negativas?

a)3
b)0
c)1
d)2
e)4

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte expressão e pede-se para determinar o número de soluções negativas:

|x*(x+1)*(x+2)| = x + 1

i) Vamos aplicar as condições de existência modulares:

i.a) para "x*(x+1)*(x+2)" ≥ 0, iremos ter:

x*(x+1)*(x+2) = x+1 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
(x²+x)*(x+2) = x+1 ---- efetuando o produto indicado novamente, temos:
x³+2x²+x²+2x = x+1 --- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro:
x³ + 3x² + 2x = x + 1 --- passando "x+1" para o 1º membro:
x³ + 3x² + 2x - x - 1 = 0 --- reduzindo novamente os termos semelhantes:
x³ + 3x² + x - 1 = 0

Se você aplicar as relações de Girard vai encontrar que as raízes desta equação são estas:

x' = -1-√(2)
x'' = - 1
x''' = -1+√(2).

i.b) para "x*(x+1)*(x+2)" < 0, teremos:

-[x*(x+1)*(x+2)] = x+1 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, teremos:

-[x³+3x²+2x[ = x+1 --- retirando-se os colchetes, ficaremos com:
-x³ - 3x² - 2x = x+1 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x+1 + x³+3x²+2x --- reduzindo os termos semelhantes:
0 = x³ + 3x² + 3x + 1 --- ou invertendo-se, temos:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0

Se você aplicar as relações de Girard vai encontrar que esta equação tem três raízes reais e iguais e que são:

x' = x'' = x''' = - 1

i.c) Mas como a raiz igual a "-1" repete-se nas duas condições de existência, então só consideraremos uma raiz negativa e a outra positiva, que serão estas:

x' = -1 e x'' = -1+√(2).

E, assim, a equação modular originalmente dada só terá uma solução negativa que é a raiz igual a x = -1. <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.