Question

A equação x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x + 16 = 0 tem, em C, duas raízes reais de multiplicidade 2. Encontre-as

Answer 1

Resposta:

x' = -1

x'' = 4

Explicação passo-a-passo:

Para essa questão, vamos precisar abrir aos pouquinhos e fatorar:

$x^{4} - 6x^{3} + x^{2} + 24x + 16 = 0$

$x^{4} + x^{3} - 7x^{3} - 7x^{2} + 8x^{2} + 8x + 16x + 16 = 0\\x(x + 1) - 7x^{2}(x + 1) + 8x(x + 1) + 16(x + 1) = 0$  

Aqui, conseguimos colocar em evidência o (x + 1), pois é comum a todos os elementos.

$(x + 1)(x^{3} - 7x^{2} + 8x + 16) = 0\\(x + 1)(x^{3} - 7x^{2} + 8x + 16) = 0\\(x + 1)(x^{3} + x^{2} - 8x^{2} - 8x + 16x + 16) = 0\\(x + 1)((x^{2}.(x + 1) - 8x(x + 1) + 16(x + 1)) = 0$  

Aqui colocamos em evidência o (x + 1) pela segunda vez

$(x + 1)(x + 1)(x^{2} - 8x + 16) = 0$        

Na forma exponencial, temos:

$(x + 1)^{2}.(x - 4)^{2} = 0$    

Agora, basta pensar nos valores de x que zerariam a equação. Nesse caso, os valores possíveis de x que zeram a equação são:

$x' = -1$   pois $(-1 + 1)^{2}.(-1 - 4)^{2} = 0.(-5)^{2} = 0$

$x'' = 4$     pois $(4 + 1)^{2}.(4 - 4)^{2} = (5)^{2}.0 = 0$