Question

A equação
${x}^{3} - 8{x}^{2} + mx + n = 0$
admite -2+i como raiz. Considerando que m e n são números reais, determine o conjunto solução dessa equação.

Answer 1

Olá Emanueli.

Pelo teorema das raízes complexas, sabemos que se P é um polinômio em uma variável com coeficientes reais, e o número complexo a + bi com b diferente de 0 é raiz desse polinômio, então o conjugado dessa raiz também é.

Nesse caso, como sabemos que - 2 + i é raiz desse polinômio, então - 2 - i também é. Logo, o polinômio [x - (- 2 + i)][x - (- 2 - i)], divide x³ - 8x² + mx + n = 0.

Fazendo o produto da raiz com o seu conjugado, temos:

[x + 2 - i][x + 2 - i)] = (x + 2)² - i²

= x² + 4x + 4 + 1

= x² + 4x + 5

Como vimos antes, sabemos que o produto acima divide a equação do enunciado. Como queremos encontrar m e n, vamos considerar a existência de uma constante a que será raiz desse polinômio. Como a equação que temos é de grau 3 e ja obtémos um polinômio de grau 2 que o divide, o quociente deverá ter um grau que complemente 2, nesse caso deverá ter grau 1.

Em uma divisão de polinõmios podemos esrever a seguinte identidade.
`
P(x) Ξ D(x) . Q(x) + R(x)

• P é o polinômio que vai ser dividido.

• D é o polinômio que irá dividir.

• Q é o quociente dessa divisão.

• R é o resto dessa divisão.

Faça:

• P(x) = x³ - 8x² + mx + n

• D(x) = x² + 4x + 5

• Q(x) = ax + b

• R(x) = 0

Portanto, temos:

x³ - 8x² + mx + n Ξ (x² + 4x + 5)(ax + b)

x³ - 8x² + mx + n Ξ ax³ + x²(b + 4a) + x(4b + 5a) + 5b

Comparando termo a termo, temos:

x³ Ξ ax³

Logo a = 1.

- 8x² Ξ (b + 4)x²

- 8 = b + 4

b = - 12

Achando m.

mx Ξ (4b + 5a)x

m = 4 . (- 12) + 5 . 1

m = - 43

Achando n.

n Ξ 5b

n = 5 (- 12)

n = - 60

Logo a nossa equação tem o seguinte formato.

x² - 8x² - 43x - 60 = [x - (- 2+ i][x - (- 2 - i)][x - 12]

Onde 12 é raiz dessa equação.

S = {- 2 + i, - 2 - i, 12}

Dúvidas? comente.