Question

A equação segmentária de um plano que passa pelos pontos A(1,2,0), B(4,3,0) e C(-3,5,1) é:

Answer 1

A equação segmentária é:

$\boxed{\displaystyle{\mathsf{\dfrac{x}{-5} + \dfrac{y}{\frac{5}{3}} + \dfrac{z}{\frac{-5}{13}} = 1}}}$

Como encontrar a equação geral do plano?

Para encontrar a equação segmentária do plano, convém primeiramente achar a equação geral dele. Isso é feito encontrando o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial entre dois vetores formados por esses três pontos. A equação geral do plano nada mais será que, dado um vetor normal n = (a,b,c):

a.x + b.y + c.z + d = 0

Onde o valor de d deve ser descoberto.

Qual é a resposta?

Sejam os pontos: A = (1,2,0), B = (4,3,0), C = (-3,5,1). Devemos formar dois vetores:

AB = B - A = (4,3,0) - (1,2,0) = (3,1,0)

AC = C - A = (-3,5,1) - (1,2,0) = (-4,3,1)

Encontrando o vetor normal, temos:

                  | i      j    k |

AB x AC =  | 3    1    0 |

                  | -4   3   1  |

1i - 3j + 9k + 4k = (1,-3,13) <= Vetor normal

Assim, a equação geral nada mais será, para n = (1,-3,13):

1.x + -3.y + 13.z + d = 0

Fazendo para o ponto A = (1,2,0), encontramos d:

1.(1) + -3.(2) + 13.(0) + d = 0

1 - 6 + d = 0

d = 5

Logo, a equação geral do plano é:

x + -3y + 13z + 5 = 0

Finalmente, achamos a equação segmentária isolando 1 no segundo membro e fazendo com que os termos x, y e z fiquem isolados no numerador. Ou seja,

x + -3y + 13z + 5 = 0

x + -3y + 13z = -5  (/-5)

x/-5 + y/(5/3) + z/(-5/13) = 1

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