Question

a equação reduzida da circunferência em que as extremidades de um diâmetro sao:a(4,0) e b(0,4), vale:

Answer 1

Bom dia Tg

seja os pontos A(4,0) e B(0,4) 

o centro é C((4+0)/2,(0+4)/2) = C(2,2)

(x - 2)² + (y - 2)² = r²

r² = (Ax - Cx)² + (Ay - Cy)²
r² = (4 - 2)² + (0 - 2)²
r² = 2² + 2² = 8

equação 
(x - 2)² + (y - 2)² = 8 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Tgcunha, que a resolução é simples.
Pede-se a equação reduzida da circunferência em que as extremidades do seu diâmetro são os pontos: A(4; 0) e B(0; 4).

Veja: antes vamos encontrar quais são as coordenadas do centro da circunferência, que chamaremos de C(x₀; y₀).
Note que todo diâmetro é o dobro do raio. Em outras palavras: todo raio é a metade do diâmetro.
Então, se calcularmos o ponto médio M(x₁; y₁) do segmento AB, iremos encontrar o centro da circunferência: C(x₀; y₀).
Então vamos encontrar esse ponto médio M(x₁; y₁). Assim:

i) Encontrando a abscissa "x₁" do ponto médio M(x₁; y₁), considerando os dois extremos A(4; 0) e B(0; 4):

x₁ = (4+0)/2 = 4/2 = 2 <--- Esta é a abscissa do ponto médio de AB.

ii) Encontrando a ordenada "y₁" do ponto médio M(x₁; y₁), considerando os dois extremos A(4; 0) e B(0; 4):

y₁ = (0+4)/2 = 4/2 = 2 <--- Esta é a ordenada do ponto médio de AB.

iii) Assim, como já vimos que o ponto médio será M(2; 2), então esse ponto médio também será o centro da circunferência C(x₀; y₀) = (2; 2).

Agora veja: quando você tem uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r ,  a sua equação reduzida é encontrada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I)

Portanto, tendo a equação da expressão (I) acima como parâmetro, vamos tomar a circunferência da sua questão, que tem centro em C(2; 2) e raio que, como ainda não sabemos qual será ele, chamaremos, por ora, apenas de "r".  Assim, faremos isto:

(x-2)² + (y-2)² = r²

Como dissemos antes, falta ainda encontrar qual é o valor do raio (r). Então vamos encontrar qual é a distância (d) do centro da circunferência a um dos pontos extremos do diâmetro, que são os pontos A(4; 0) e B(0; 4). Com isso, encontraremos o raio da circunferência.
Vamos ver qual é a distância do centro CC(2; 2) ao ponto A(4; 0). Assim:

d² = (4-2)² + (0-2)²
d² = (2)² + (-2)²
d² = 4 + 4
d² = 8
d = +-√(8) ----- mas como a medida do raio nunca é negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

d = √(8) <--- Esta é a medida do raio da circunferência da sua questão.

Então vamos na expressão reduzida, que já encontramos, e que é esta:

(x-2)² + (y-2)² = r² ----  e substituiremos por √(8). Assim, teremos:

(x-2)² + (y-2)² = [√(8)]² ---- desenvolvendo o quadrado do termo que está no 2º membro (que é o raio),  teremos:

(x-2)² + (y-2)² = 8 <--- Pronto. Esta é a equação reduzida pedida da circunferência da sua questão.

Então, resumindo, teremos que: a circunferência da sua questão tem centro em C(2; 2) e tem raio = √(8).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.