A equação paramétrica do plano é uma forma de descrever os pontos que fazem
parte de uma superfície plana utilizando dois parâmetros reais t e s. Considere o
plano a dado a seguir em sua equação paramétrica
Soluções para a tarefa
A melhor sequência de valores lógicos que resolve a questão é:
V - F - V - V - F
Para facilitar os cálculos devemos encontrar o vetor normal do plano α. Como temos as equações paramétricas podemos encontrar facilmente a equação vetorial do plano, observe:
(x,y,z) = (1,0,-1) + (2,-1,1).t + (3,1,-1).s
Sabemos que as coordenadas que acompanham os parâmetros "t" e "s" representam os vetores contidos no plano α. Nesse sentido se calcularmos o produto vetorial deles, encontraremos um terceiro vetor ortogonal a ambos: o vetor normal. O determinante da matriz abaixo mostrará as coordenadas desse vetor.
| i j k |
| 2 -1 1 | = 1.i + 2.k + 3.j + 3.k + 2.j - 1.i = 0.i + 5.j + 5.k = (0,5,5)
| 3 1 -1 |
Feito isso, podemos partir para a análise dos itens.
I. Para que a reta r seja perpendicular ao plano α, o vetor normal do plano deve ser múltiplo do vetor diretor (vetor que multiplica o parâmetro) dessa reta.
Vetor diretor = (0,2,2)
Vetor normal = (0,5,5)
(0,2,2) . k = (0,5,5)
k = 2,5
Encontramos um valor válido, logo I. V
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II. Utilizando o mesmo processo do item anterior, verificaremos se os vetores são múltiplos.
Vetor diretor = (5,0,0)
Vetor normal = (0,5,5)
(5,0,0).k = (0,5,5)
Como não existe k (∄k) que satisfaça a igualdade, II. F
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III. Para verificar se o ponto está no plano, basta substituir dois valores dentre os de x,y,z nas equações paramétricas, resolver o sistema de duas equações e, por fim, verificar se o resultado é válido para a outra equação.
Substituição dos valores de x = 0 e y = -2:
0 = 1 + 2t + 3s => 0 = 1 + 2t + 3s
-2 = -t + s .(2) => -4 = -2t + 2s
Resolução do sistema:
-4 = 1 + 5s Logo, -2 = -t + s
-5 = 5s -2 = -t - 1
s = -1 t = 1
Verificação se o ponto z é realmente 1, como queremos no ponto (0,-2,1).
z = -1 + 1 -(-1)
z = -1 + 1 + 1
z = 1
Portanto, o ponto (0,-2,1) pertence ao plano, III. V
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IV. Encontramos (0,5,5) como vetor normal, porém saiba que qualquer múltiplo deste também é um vetor normal.
(0,4,4).k = (0,5,5)
k = 5/4 (é múltiplo)
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V. Como só nos resta uma alternativa válida, ficamos que esse item é F, pois os vetores normais não são perpendiculares (eles serem perpendiculares é uma condição para que os planos sejam paralelos).
Resposta: E)
Resposta:
Resposta Correta:
Correta V, V, V, V, F.
Explicação passo-a-passo:
Respondi V, F, V, V, F e me ferrei
