Question

A equação modular |x-1|+|x-3|=4 tem conjunto verdade em R igual a:

Answer 1

Primeiro vamos achar as raízes das equações modulares.

$|x-1|+|x-3|=4\\ \\ x-1=0\\ x=1\\ \\ x-3=0\\ x=3$

Agora vamos ver para que valores a equação é positiva e negativa, depois iremos representar isso em uma reta.

$|x-1|\quad \{ x-1\quad p/x\ge 1\\ |x-1|\quad \{ -x+1\quad p/x\le 1\\ \\ |x-3|\quad \{ x-3\quad p/x\ge 3\\ |x-3|\quad \{ -x+3\quad p/x\le 3$


|x-1|  (-x+1)_________1________(x-1)_____
|x-3|  (-x+3)_________________3__(x-3)___

Agora é só fazer as equações utilizando os seus devidos valores.

$p/x\le 1\quad |x+1|+|x+3|=4\\ \\ -x+1-x+3=4\\ -2x+4=4\\ 4-4=2x\\ 0=2x\\ \frac { 0 }{ 2 } =x\\ \\ 0=x$

O número 0 é menor que 1, então esse serve.

$p/1\le x\le 3\quad |x+1|+|x+3|=4\\ \\ x-1-x+3=4\\ 2=4$

2 não é igual a 4, então esse não serve.

$p/x\ge 3\quad |x+1|+|x+3|=4\\ \\ x-1+x-3=4\\ 2x=4+4\\ 2x=8\\ x=\frac { 8 }{ 2 } \\ \\ x=4$

O 4 é maior que o 3, então esse serve.


$S=\{ 0,4\}$

Answer 2

Olá , você consegue fazer o gráfico de uma função modular ? É simples, vou tentar te ajudar a entender esse problema graficamente , é mais complicado, mas é mais intuitivo, vejamos :
Faça assim, construa o gráfico de |x-1| e de |x-3| e depois faça melhor, chame as duas equações de funções , assim : f(x) = |X-1| e g(x)=|x-3| . Quando você construir o gráfico você terá algo maios ou menos como a imagens lá em baixo. Você vai notar , que a função modular ela é diferente, os valores de y nunca vão ser negativos, pois para isso que serve o modulo , veja no desenho que eu fiz, expliquei detalhadamente na imagem abaixo . Obrigado!