Question

A equação modular abaixo, admite como solução somente:
$|\frac{2-x}{4}|=x-1$

Answer 1

$\left|\dfrac{2-x}{4}\right|=x-1$


$\bullet\;\;$ Condição de existência do módulo:

O módulo de um número real nunca pode ser negativo. Portanto, devemos ter

$\left|\dfrac{2-x}{4}\right|\geq 0\;\;\Rightarrow\;\;x-1\geq 0\;\;\Rightarrow\;\;x\geq 1$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação:

$\left|\dfrac{2-x}{4}\right|=x-1\\ \\ \\ \dfrac{2-x}{4}=\pm \,(x-1)\\ \\ \\ 2-x=\pm 4\,(x-1)\\ \\ 2-x=4\,(x-1)\;\;\text{ ou }\;\;2-x=-4\,(x-1)$


Resolvendo separadamente as equações:

$2-x=4\,(x-1)\\ \\ 2-x=4x-4\\ \\ 4x+x=2+4\\ \\ 5x=6\\ \\ x=\dfrac{6}{5}$

$\dfrac{6}{5}>1,$ então $x=\dfrac{6}{5}$ é uma solução válida.


$2-x=-4\,(x-1)\\ \\ 2-x=-4x+4\\ \\ 4x-x=4-2\\ \\ 3x=2\\ \\ x=\dfrac{2}{3}$

como $\dfrac{2}{3}<1,$ então $x=\dfrac{2}{3}$ não é uma solução válida.


Logo, a equação dada inicialmente adminte apenas uma solução:

$S=\left\{\dfrac{6}{5} \right \}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf \Big|~\dfrac{2-x}{4}~\Big|=x-1$

=> $\sf \dfrac{2-x}{4}=x-1$

$\sf 2-x=4\cdot(x-1)$

$\sf 2-x=4x-4$

$\sf 4x+x=2+4$

$\sf 5x=6$

$\sf \green{x=\dfrac{6}{5}}$

=> $\sf \dfrac{2-x}{4}=-x+1$

$\sf 2-x=4\cdot(-x+1)$

$\sf 2-x=-4x+4$

$\sf 4x-x=4-2$

$\sf 3x=2$

$\sf \red{x=\dfrac{2}{3}}$ (não serve)

O conjunto solução é $\sf S=\Big\{\dfrac{6}{5}\Big\}$