Question

A equação modolu |2+3×|=×-4

Answer 1

Com os cálculos realizados chegamos a conclusão que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S = \{ \quad \} ~ ou ~ ~\emptyset } }$

As equações modulares está baseada nas sequintes porpiedades:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf \bullet \: Se ~\mid x\mid\; = a ~e ~a > 0, ~ent\tilde{a}o ~ x= a ~ ou~x = -a \\ \\\sf\bullet \: Se ~\mid x\mid\; = a ~e ~a = 0, ~ent\tilde{a}o ~ x= 0 \end{cases} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{\mid 2+ 3x \mid = x-4 }$

A solução dada só é possível quando:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x-4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \quad \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf I}} } }$

Por definição de módulo, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid 2+3x \mid = x- 4 \Rightarrow \begin{cases} \sf 2+3x = x -4 \quad \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf II}} \\ \sf ou \\ \sf 2+3x = - (x-4) \quad \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf III}} \end{cases} } }$

De  $\raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf II}}$, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2+3x = x-4 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x -x = - 4 - 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2x = -6 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = -\: \dfrac{6}{2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = -\: 3 }$

Não serve, pois não satisfaz a condição $\raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf I}}$.

Vericando, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{\mid 2+ 3x \mid = x-4 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{\mid 2+ 3 \cdot (-3) \mid = - 3-4 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{\mid 2-9 \mid = -7 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{\mid -7 \mid = -7 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 7 = -7 \quad \to Falso}$

De  $\raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf III}}$, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2+3x = -\: (x-4 ) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2+3x = - x + 4 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x + x = 4 - 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4x = 2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{2}{4} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{1}{2} }$

Não serve, pois não satisfaz a condição $\raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize\sf I}}$,

Verificando, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{\mid 2+ 3x \mid = x-4 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Big| 2+ 3\cdot \dfrac{1}{2} \Big| = x-4 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Big| \dfrac{6}{2} + \dfrac{3}{2} \Big| = \dfrac{1}{2} - \:\dfrac{8}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \Big| \dfrac{9}{2} \Big| = \:\dfrac{7}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{9}{2} = \:\dfrac{7}{2} \quad \to Falso } }$

Portanto, o conjunto solução é:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = \{ \quad \} ~ ou ~ ~\emptyset }$

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