Question

A equação log3 X= 1+12logx^2 3. Tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é
A) 0
B)1/3
C)3/2
D)3
E)9

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\textrm{Op\c{c}\~{a}o D) } 3}.$

Explicação passo-a-passo:

Começamos por aplicar as propriedades da mudança de base e do logaritmo da potência:

$\log_{x^2} 3 =\dfrac{\log_3 3}{\log_3 (x^2)} = \dfrac{1}{2\log_3 x}.$

Subsituindo, vem:

$\log_3 x = 1 + 12\log_{x^2} 3 \iff \log_3 x = 1 + \dfrac{12}{2\log_3 x} = 1+\dfrac{6}{\log_3 x}.$

Multiplicando ambos os lados da equação por $\log_3 x$, vem:

$\log_3 x = 1+\dfrac{6}{\log_3 x} \iff (\log_3 x)^2 = \log_3 x + 6 \iff (\log_3 x)^2 - \log_3 x - 6=0.$

Fazendo a substituição $y \equiv \log_3 x$, vem:

$y^2 - y - 6=0.$

Como sabemos, numa equação do 2.º grau da forma $x^2 - Sx + P = 0$, $S$ corresponde à soma das raízes e $P$ ao produto das mesmas. Portanto, a soma das raízes (na variável $\underline{y}$) é $1$.

Sejam $x_1$ e $x_2$ as raízes da equação. Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, obtém-se então:

$\log_3 x_1 + \log_3 x_2 = 1 \iff \log_3(x_1 \times x_2) = 1 \iff x_1 \times x_2 = 3.$

Assim, o produto das raízes é dado por:

$\boxed{\textrm{D) } 3}.$